关于数项级数敛散性的判定
1、问题的提出
数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.
2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理
2.1数项级数收敛的定义
数项级数
?un?1?n收敛?数项级数
?un?1?n的部分和数列?Sn?收敛于S.
这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列Sn的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.
??2.2数项级数的性质
（1）若级数
?un?1??n与
?vn?1??n都收敛，则对任意常数c,d, 级数
??(cun?1?n?dvn)亦收敛，且
??(cun?1?n?dvn)?c?un?d?vn;相反的，若级数?(cun?dvn)收敛，则不能够推出级数?un与
n?1n?1n?1n?1?vn?1?n都收敛.
???注：特殊的，对于级数
?un?1nn与
?vn?1n，当两个级数都收敛时，
??(un?1n?vn)必收敛；当其中一个
收敛，另一个发散时，
?(un?1??vn)一定发散；当两个都发散时，?(un?vn)可能收敛也可能发散.
n?1?1111例1 判定级数?(n?n)与级数?(?n)的敛散性.
52n?13n?1n???1111解：因为级数?n与级数?n收敛，故级数?(n?n)收敛.
5n?13n?13n?15???1111因为级数?发散，级数?n收敛，故级数?(?n)发散.
2n?1nn?12n?1n?（2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.
（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.
例2 判定级数
12-1?-12?1???1n?1?1n?1??的敛散性.
?22??，而级数?发
n?1n?1n?1n?1n?1?11?解：先考察级数??????，因为un?n?1?n?1?n?1散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散. （4）级数收敛的必要条件 若级数
11?un?1?n收敛，则limun?0.若limun?0，则级数
n??n???un?1?n发散.
2.3判定定理
2.3.1级数收敛的柯西准则
级数
?un?1?n收敛????0,?N?N*,使得当m?N以及?p?N*,都有
um?1?um?2???um?p??.
sin2n例1 用柯西准则判别级数?的敛散性. n2证明：由于
um?1?um?2???um?p?sin2m?1sin2m?2sin2m?p?????2m?12m?22m?p1?12m?2????
12m?p1?2m?1?111 ??2m2m?p2m?因此，对于任意的??0.取N??log2?使得当m?N及任意的p?N,由上式就有
???um?1?um?2???um?p??成立，故由柯西准则可推出原级数收敛. 2.3.2正项级数判别法
（1）正项
?un?1?n收敛?它的部分和数列?Sn?有界.
1
（2）比较判别法 如果
?un?1?n和
?vn?1?n是正项级数，若存在某整数N，对一切n?N都有un?vn
??(i)若级数
?vn?1?n收敛，则级数
?un?1?n也收敛；（ii）若级数
?un?1n发散，则级数
?vn?1n也发散.
等比级数和P-级数的敛散性 ①等比级数发散.
②P-级数
?aqn?1?n?a?aq?aq2???aqn??，当q?1时，级数收敛；当q?1时，级数
1，当p?1时，发散；当p?1时，收敛. ?pnn?1?例2 判别级数
?4?1n?n?1?4的敛散性.
解：因为un?敛.
1n?n?1??1n?n4?1n52，而且P-级数
??1n52收敛，由比较判别法知该级数收
（3）比较判别法的极限形式 如果
?un和?vn是正项级数(vn?0)，如果limn?1n?1??un?l，则
n??vn（i）当0?l???时，
?un?1?n和
??vn?1n?n同时收敛或发散；（ii）当l?0时，
??vn?1?n收敛时，
?un?1?n
也收敛；（iii）当l???时，
?vn?1发散时，
?un?1n也发散.
例3 判别级数
n??na?1?a?1?的敛散性.
?解：因为limn??a?11at?1atlna1令t?lim?lim?lna,而正项级数?发散，由比较原则
t?01nt?0t1nn的极限形式知原级数发散. (4)比式判别法 如果
?un为正项级数,且
n?1?un?1??， un（i）若0???1，则
?un?1?n收敛；（ii）若??1，
?un?1?n发散.
2
例4判别级数
??n?1?!的敛散性.
10nun?1?n?2?!10nn?2解：因为lim?lim??lim???，所以由比式判别法知原级数发散.
n??un??10n?1n???n?1?!10n(5)比式判别法的极限形式 如果
?un为正项级数，且limn?1?un?1??，则
n??un（i）若??1，则
?un?1?n收敛；（ii）若??1或????时，
?un?1?n发散.
3n?n!例5 判别级数?的敛散性.
nnun?13n?1?n?1?!nn33解：因为lim?lim??lim??1，所以由比式判别法的极限形nnn??un???n?1?n?1n??e3n!?1?n1????n?式知原级数发散. （6）根式判别法 如果
?un?1?n为正项级数，（i）如果nun?（ii）若nun?1，??1，则?un收敛；
n?1?则级数
?un?1?n发散.
? (7)根式判别法的极限形式 如果
?un?1n为正项级数，还有limnun??，
n???（i）当??1时，则
?un?1?n收敛；（ii）当??1时，则
n?un?1n发散.
?n?例6 判别级数???的敛散性.
?2n?1?n1?n??lim??1，所以由比式判别法极限形式知原级数收敛. 解：因为limn??n??n??2n?12?2n?1?(8)积分判别法 若f(x)为[1,??)上的非负减函数，那么正项级数
收敛或同时发散.
n?f(n)与反常积分
???1f(x)dx同时
1?n2?1的敛散性.
??1dx??解：设f?x??2，则f?x?在[1,??)上为非负单调递减函数，而? 214x?11?x例7 判别级数
故由积分判别法知原级数收敛.
3
n(9)Raabe判别法 设un?0，Rn?n??u?1??,n?1,2,?.
?n?1???u?(i)若存在q?1及正整数N,使得当n?N时有Rn?q，则级数
??un?1n收敛；
(ii）若存在正整数N,使得当n?N时有Rn?1，则级数
??un?1n发散.
(10) Raabe判别法的极限形式 设
?un?1n是正项级数，且有limRn?r，
n??（i）若r?1,则级数
?un?1??n收敛；
（ii）若r?1,则级数
??un?1n发散.
例8 判别级数
?2n?1?!!?1的敛散性. ??2n?!!2n?1解：容易验证，因为??1?n???这个级数用比式判别法和根式判别法都失效，这时可以用Raabe
n判别法.此时，Rn?n??u?1???n??n?1???u???2n?2??2n?3??2n?2?2??6n?5?n3?n???.由Raabe判别?1???22??2n?1?法知原级数收敛.
正项级数的判别方法有很多种，下面总结一下这几种方法的选择顺序:①若limun易于求的，考察
n??limun的值：limun?0，则依据级数收敛的必要条件，知级数发散；②若limun?0，不能直接判断
n??n??n??级数是收敛还是发散，此时用比式判别法或根式判别法，当??1时，级数收敛；若??1或????时，级数发散；③当??1时，级数可能收敛也可能发散，此时用比较判别法，找出一个已知敛散性的级数与之比较，然后根据比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性，当然，对于一些具体问题，我们应该根据其特点分析，找到更简便的判别方法.
2.3.3一般项级数的判别方法
（1）交错级数判别法
Leibniz判别法 若交错级数?(?1)n?1?n?1，满足下述两个条件：（i）数列?un?单调递un（un?0）
减；（ii）limun?0,则级数收敛.
n?? 4