习 题 二
2-1 质量为m的子弹以速率v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。
[解] 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv
dv dtdv 即 ?kv??m
dtdvk 所以 ??dt
vmvdvkt对等式两边积分 ????dt
v0vm0(1) 由牛顿第二定律 f?ma?m 得 lnvk??t v0mk?tme 因此 v?v0
dvdvdxdv?m?mv dtdxdtdxdv 即 ?kv?mv
dxk 所以 ?dx?dv
m0ks 对上式两边积分 ??dx??dv
v0m0k 得到 ?s??v0
mmv0 即 s?
k
2-2 质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为
(2) 由牛顿第二定律 f?ma?mmg?Fv?kkt????1?em? ????fF0[证明] 任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正
方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
mg?F?f?ma?mdv dtmgy2-1
即 mg?F?kv?ma?m整理得
dv dtdvdt?
mg?F?kvm对上式两边积分
?0vtdtdv ??0mg?F?kvm得 lnmg?F?kvkt??
mg?Fmkt????1?em? ????mg?F即 v?k
2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即F?kv2。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率vT。
[解] 设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为vT，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
2此时 mg?kvT
即 vT?mg k有牛顿第二定律 mg?kv2?m 整理得
dv dtdvdt ?mg?kv2m对上式两边积分
?0vtdtdv1?
mg?kv2?0m2mgk 得 ln2tmg?kvmg?kv2t?t m整理得 v?eemkg2tmkg?1mge?k?1emkg2tmkg?1?1vT
2-2
2-4 一人造地球卫星质量m=1327kg，在离地面h?1.85?106m的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f的大小；(2)卫星的速率v；(3)卫星的转动周期T。 [解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力
f?GM地m?Re?h?M地Re2
2
g?G由上面两式得f?mgRe2?Re?h?2?1327?9.8??6378?10?6378?10?33262?1.85?10??7.82?103N
v2(2) 由牛顿第二定律 f?m
Re?hv?f?Re?h?7.82?103?6378?103?1.85?106??6.96?103ms m1327??(3) 卫星的运转周期
2??Re?h?2?6378?103?1.85?106T???7.43?103s?2h3min50s 3v6.96?102-5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。
[解] 设同步卫距地面高度为h，距地心为R+h，则
MmG2?mr?2 rMmG2?mg R所以 GM?gR2
???gR2代入第一式中 r????2??? ??132??7.27?10?5rads
24?3600解得 r?4.22?107m
??h?r?R?4.22?107?6.37?106?3.58?104m
2-6 两个质量都是m的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。
[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。
2-3
所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同
(1)每个星球所受的合力
F1?F2?G(2) 设运动周期为T
mm?2R?2m2?G
4R2v22?R T? F1?mRv联立上述三式得 T?4?R所以，每个星球的运行周期
R GmT1?T2?T?4?R 2-7 2-8
R Gm2-9 一根线密度为?的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。
[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力N1，另一部
?。显然 分是正在下落的dx段对桌面的冲力N2，桌面对dx段的作用力为N2N1??sg
t时刻，下落桌面部分长s。设再经过dt，有dx落在桌面上。取下落的dx段链条为研
究对象，它在dt时间之内速度由v?2gs变为零，根据动量定理
?dt?dp (1) N2 dp?0??vdx (2) dx?vdt (3)
???2sg? 由(2)、(3)式得 N2??2sg? N2??N2故链条对桌面的作用力为
N?N1?N2?3?sg
2-4