(新课标)2021版高考数学一轮总复习第一章集合、常用逻辑用语第1讲集合及其运算导学案新人教A版

第一章 集合、常用逻辑用语

[知识体系p1]

第1讲 集合及其运算

【课程要求】

1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性.

2.理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义.

3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.

4.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算.

对应学生用书p1

【基础检测】

概念辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

1

(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )

(2){x|y=x+1}={y|y=x+1}={(x,y)|y=x+1}.( ) (3)若{|x|,1}={0,1},则x=0或x=1.( ) (4){x|x≤2}={a|a≤2}.( )

(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( ) (6)若A∩B=A∩C,则B=C.( )

[答案] (1)× (2) × (3)× (4) √ (5)√ (6)×

教材改编

2.[必修1p44A组T4]已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},若A?B,则a的值为( )

A.-2 B.-1 C.0 D.1

[解析] 因为{0,1}?{-1,0,a+3},所以a+3=1,解得a=-2. [答案] A

3.[必修1p11例9]已知U={α|0°<α<180°},A={x|x是锐角},B={x|x是钝角},则?U(A∪B)=________.

[答案] {x|x是直角}

4.[必修1p44A组T5]已知集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.

[解析] 集合A表示抛物线y=x上的点的集合,集合B表示直线y=x上的点的集合,抛物线y=x与直线y=x相交于两点(0,0),(1,1),则A∩B中有两个元素.

[答案] 2

易错提醒

2

2

2

5.已知全集U=R,集合A={x|x-x-6<0},B={1,2,3,4},则Venn图中阴影部分所表示的集合是( )

A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}

[解析] 由题意A={x|-2

[答案] C

6.已知集合P={2,3,4,5,6},Q={3,4,5,7},若M=P∩Q,则M的子集个数为

2

2

________.

[解析] 由题意可知,M={3,4,5},故M的子集个数为2=8. [答案] 8 【知识要点】 1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征:__确定性__、__互异性__、__无序性__. (2)元素与集合的关系是__属于__或__不属于__,用符号__∈__或__?__表示. (3)集合的表示法:__列举法__、__描述法__、__图示法__. (4)常见数集的记法

集合 符号

2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合A中所有元素都在集子集 合B中(即若x∈A,则x∈B) 真子 集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集 __A=B__ __AB(或BA)__ __A?B(或B?A)__ 符号语言 自然数集 N 正整数集 N(或N+) *3

整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R Venn图 集合相等 3.集合的基本运算 运算 交集 自然语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 符号语言 A∩B={x|x∈A且x∈B} A∪B={x|x∈A或x∈B} Venn图 并集 补集 ?UA={x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1.若有限集合A中有n个元素,则集合A的子集个数为__2__,真子集的个数为__2

n

n

3

-1__.

2.A?B?A∩B=__A__?A∪B=__B__.

3.A∩(?UA)=__?__;A∪(?UA)=__U__;?U(?UA)=__A__.

对应学生用书p2

集合的基本概念

例1 (1)已知集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素

的个数为( )

2

2

A.3 B.2 C.1 D.0

[解析] 因为A表示圆x+y=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x+y=1有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.

[答案] B

(2)已知集合A={m+2,2m+m},若3∈A,则m的值为__________.

32

[解析] 由题意得m+2=3或2m+m=3,则m=1或m=-,当m=1时,m+2=3且

23122

2m+m=3,根据集合元素的互异性可知不满足题意;当m=-时,m+2=,而2m+m=

223

3,故m=-.

2

3

[答案] -

2

[小结](1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.

(2)集合中元素的互异性常常容易被忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

1.(多选)若集合A={x|mx+2x+m=0,m∈R}中有且只有一个元素,则m的值可以是( )

A.-1 B.0 1

C. D.1 2

4

22

2

2

2

2

[解析] 当m=0时,A={x|2x=0}={0},满足题意;当m≠0时,Δ=4-4m=0,m=±1.

[答案] ABD

2.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )

2

A.9 B.8 C.7 D.6

[解析] 当a=0时,a+b=1,2,6;当a=2时,a+b=3,4,8;当a=5时,a+b=6,7,11.由集合中元素的互异性知,P+Q中有1,2,3,4,6,7,8,11,共8个元素.

[答案] B

集合间的基本关系

例2 (1)(多选)已知集合A={x∈R|x+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若

2

B?A,则实数a的值可以为( )

111

A. B.- C. D.0 332[解析] 由题意知,A={2,-3}. 当a=0时,B=?,满足B?A;

11111当a≠0时,ax-1=0的解为x=,由B?A,可得=-3或=2,∴a=-或a=. aaa3211

综上可知,a的值可以为-或或0.

32[答案] BCD

(2)已知集合A={x|x-x-12≤0},B={x|2m-1

A.[-1,2) B.[-1,3] C.[2,+∞) D.[-1,+∞)

[解析] 由x-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B?A.

①当B=?时,有m+1≤2m-1,解得m≥2; -3≤2m-1,??

②当B≠?时,有?m+1≤4,解得-1≤m<2.

??2m-1

[小结] (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,

5

2

2

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