第一章 集合、常用逻辑用语
[知识体系p1]
第1讲 集合及其运算
【课程要求】
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性．
2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．
对应学生用书p1
【基础检测】
概念辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(2){x|y＝x＋1}＝{y|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}．( ) (3)若{|x|，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.( ) (4){x|x≤2}＝{a|a≤2}．( )
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．( ) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
[答案] (1)× (2) × (3)× (4) √ (5)√ (6)×
教材改编
2．[必修1p44A组T4]已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，若A?B，则a的值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
[解析] 因为{0，1}?{－1，0，a＋3}，所以a＋3＝1，解得a＝－2. [答案] A
3．[必修1p11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则?U(A∪B)＝________．
[答案] {x|x是直角}
4．[必修1p44A组T5]已知集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
[解析] 集合A表示抛物线y＝x上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，抛物线y＝x与直线y＝x相交于两点(0，0)，(1，1)，则A∩B中有两个元素．
[答案] 2
易错提醒
2
2
2
5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x－x－6<0}，B＝{1，2，3，4}，则Venn图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{1，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
[解析] 由题意A＝{x|－2 [答案] C 6．已知集合P＝{2，3，4，5，6}，Q＝{3，4，5，7}，若M＝P∩Q，则M的子集个数为 2 2 ________． [解析] 由题意可知，M＝{3，4，5}，故M的子集个数为2＝8. [答案] 8 【知识要点】 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：__确定性__、__互异性__、__无序性__． (2)元素与集合的关系是__属于__或__不属于__，用符号__∈__或__?__表示． (3)集合的表示法：__列举法__、__描述法__、__图示法__． (4)常见数集的记法 集合 符号 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 集合A中所有元素都在集子集 合B中(即若x∈A，则x∈B) 真子 集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 __A＝B__ __AB(或BA)__ __A?B(或B?A)__ 符号语言 自然数集 N 正整数集 N(或N＋) *3 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R Venn图 集合相等 3.集合的基本运算 运算 交集 自然语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} Venn图 并集 补集 ?UA＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为__2__，真子集的个数为__2 n n 3 －1__． 2．A?B?A∩B＝__A__?A∪B＝__B__． 3．A∩(?UA)＝__?__；A∪(?UA)＝__U__；?U(?UA)＝__A__． 对应学生用书p2 集合的基本概念 例1 (1)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素 的个数为( ) 2 2 A．3 B．2 C．1 D．0 [解析] 因为A表示圆x＋y＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x＋y＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2. [答案] B (2)已知集合A＝{m＋2，2m＋m}，若3∈A，则m的值为__________． 32 [解析] 由题意得m＋2＝3或2m＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且 23122 2m＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m＋m＝ 223 3，故m＝－. 2 3 [答案] － 2 [小结](1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (2)集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 1．(多选)若集合A＝{x|mx＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的值可以是( ) A．－1 B．0 1 C. D．1 2 4 22 2 2 2 2 [解析] 当m＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，满足题意；当m≠0时，Δ＝4－4m＝0，m＝±1. [答案] ABD 2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是( ) 2 A．9 B．8 C．7 D．6 [解析] 当a＝0时，a＋b＝1，2，6；当a＝2时，a＋b＝3，4，8；当a＝5时，a＋b＝6，7，11.由集合中元素的互异性知，P＋Q中有1，2，3，4，6，7，8，11，共8个元素． [答案] B 集合间的基本关系 例2 (1)(多选)已知集合A＝{x∈R|x＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若 2 B?A，则实数a的值可以为( ) 111 A. B．－ C. D．0 332[解析] 由题意知，A＝{2，－3}． 当a＝0时，B＝?，满足B?A； 11111当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝，由B?A，可得＝－3或＝2，∴a＝－或a＝. aaa3211 综上可知，a的值可以为－或或0. 32[答案] BCD (2)已知集合A＝{x|x－x－12≤0}，B＝{x|2m－1 A．[－1，2) B．[－1，3] C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞) [解析] 由x－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B?A. ①当B＝?时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2； －3≤2m－1，?? ②当B≠?时，有?m＋1≤4，解得－1≤m<2. ??2m－1 [小结] (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况， 5 2 2