2010年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析

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【解答】解:(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为=得

,又2a+2c=

所以可解得

,c=2,所以b2=a2﹣c2=4,

所以椭圆的标准方程为

所以椭圆的焦点坐标为(±2,0),

因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点, 所以该双曲线的标准方程为(Ⅱ)设点P(x0,y0), 则k1=

,k2=, . ∴k1?k2==, 又点P(x0,y0)在双曲线上, ∴

,即y02=x02﹣4, ∴k1?k2==1. (Ⅲ)假设存在常数λ,使得得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立, 则由(II)知k1?k2=1, ∴设直线AB的方程为y=k(x+2),则直线CD的方程为y=(x﹣2), 由方程组消y得:(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣8=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则由韦达定理得,

∴AB==,

同理可得CD===,

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∵|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|, ∴λ=

∴存在常数λ=

=

=

=

,使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立.

【点评】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题(III)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. 22.(14分)(2010?山东)已知函数f(x)=lnx﹣ax+(Ⅰ)当a≤时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4.当a=时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)直接利用函数与导数的关系,求出函数的导数,再讨论函数的单调性; (Ⅱ)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最小值,然后解不等式求参数. 【解答】解:(Ⅰ) 令h(x)=ax2﹣x+1﹣a(x>0) (1)当a=0时,h(x)=﹣x+1(x>0), 当x∈(0,1),h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞),h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增. (2)当a≠0时,由f′(x)=0,即ax2﹣x+1﹣a=0,解得当当

. ,﹣1(a∈R).

时x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x)单调递减; 时,,x∈(0,1)时h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;

时,h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 时,h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.

当a<0时,当x∈(0,1),h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;

当x∈(1,+∞),h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增. 综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)单调递减,(1,+∞)单调递增; 当

时x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)单调递减;

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当减. (Ⅱ)当有

时,函数f(x)在(0,1)单调递减,单调递增,单调递

时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意x1∈(0,2),

,x2∈[1,2],(※)

又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),所以

又g(x)=(x﹣b)2+4﹣b2,x∈[1,2]

当b<1时,g(x)min=g(1)=5﹣2b>0与(※)矛盾;

当b∈[1,2]时,g(x)min=g(b)=4﹣b2≥0也与(※)矛盾; 当b>2时,综上,实数b的取值范围是. . 【点评】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

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