随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量 和 的分布密度 （b）试问： 与 是否独立？说明理由。 解：（a）
（b）由于：
因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此 与 独立。
2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求 和 的相关系数；
（b） 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有：
（b）当 的时候， 和 线性相关，即
3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为且是一个周期为T的函数，即 ， 试求方差函数。 解：由定义，有：
，
4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若 与 独立，求与Y的互相关函数。 解：（a）
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数， 为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数 ，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：
我们有 的联合分布密度为：
，及雅克比行列式：
因此有：
且V和 相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于 独立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且
所以 。
（4） 由于： 所以 当时， 当时，
因此
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
（2）
当i=j 时；否则 令 ，则有