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2012年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)
专题7：几何三大变换相关问题 .
1. （2012北京市7分）在△ABC中，BA=BC，
上的动点，
将线段PA绕点P顺时针旋转
BAC
，M是AC的中点，P是线段BM
2 得到线段 PQ。
（ 1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，
并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段
∠CDB的
CQ的延长线与射线 BM交于点D，猜想
大小（用含
的代数式表示），并加以证明；
，当点P在线段BM上运动到某一位置 （不与点B，M重合）时，
（3）对于适当大小的
能使得
线段CQ的延长线与射线 BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出
的范围。
【答案】解：（1）补全图形如下：
∠ CDB=30°。
（ 2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，
∵ AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC。
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。
在△APD与△CPD中，∵AD=CD，PD=PD，PA=PC
∴△APD≌△CPD（SSS）。
∴ AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。
又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。
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2012年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)
∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。
∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。
∴∠CDB=90°－α。
（3）45°＜α＜60°。
【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，
三角形内角和定理， 全等三角形的判定和
性质，等腰三角形的判定和性质， 。
【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△
CMQ 是等边三角形，即可得
出答案：
∵ BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。
∵将线段 PA绕点P顺时针旋转 2α得到线段 PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°。
∴CM=MQ，∠CMQ=60°。∴△CMQ是等边三角形。
∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。
（ 2）首先由已知得出△APD≌△CPD，从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出。
（ 3）由（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－ 2α。
∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。
∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°。
2. （2012海南省I11分）如图（1），在矩形
ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点
CM、AN.
B、D分
别落在对角线 BC上的点E、F处，折痕分别为
（ 1）求证：△AND≌△CBM.
（ 2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？
（ 3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。
且 AB=4，BC=3，求PC的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形
ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。
∴∠DAC=∠BCA。
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又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。
∴△AND≌△CBM（ASA）。
（ 2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。
又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，
∴FN=EM。
又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，
∴ FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。四边形MFNE不是菱形，理由如下：
由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。
∴ FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。
（ 3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。
设 DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得
3x＋5x=12，解得x=
3 2
，即DN=BM= 。
3
2
过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。 在△NHM中，NH=3，HM=1，
由勾股定理，得 NM=10。
∵PQ∥MN，DC∥AB，
∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ=NM=10。
又∵PQ=CQ，∴CQ= 10。
在△CBQ中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得
∴NP=MQ= 。∴PC=4－
BQ=1。
1 3 2
－
1
=2。
2 2
【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。
【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用
ASA即可得到△AND≌△CBM。
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。
（3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。过点N作NH⊥AB于H，则由
3 2
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