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x∈R+,a＜ x+1恒成立，求a的取值范围 ． 17. 已知：对?x18.写出下列命题的否定.
(1) 对所有的正数x， x ＞x－1 ；
(2) 不存在实数x，x2+1＜2x”；
(3) 集合A中的任意一个元素都是集合B的元素； (4) 集合A中至少有一个元素是集合B的元素．
选修1-1 第1章 常用逻辑用语 §1.4常用逻辑用语单元测试
1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ） A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0 2．“至多有三个”的否定为 （ ） A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个
3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ） A．金盒里 B．银盒里 C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定
2(a?2)x?2(a?2)x?4?0 对于x?R恒成立，那么a的取值范围是（ ） 4．不等式
A．(?2,2) B．(?2,2] C．(??,2] D．(??,?2)
5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ） A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数 C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数 6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然 而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ） A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福 C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福 7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ） A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
8．条件p：x?1，y?1，条件q：x?y?2，xy?1，则条件p是条件q的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
1A．－2＜x＜3
1B．－2＜x＜0
1C．－3＜x＜2
D．－1＜x＜6
10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 11．下列命题中_________为真命题． ①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”； ②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
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③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。 12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____。 13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件。
14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件。
15．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。 （1）矩形的对角线相等且互相平分； （2）正偶数不是质数。
16．写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假.
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除。 （2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形。 17．给定两个命题,
22P：对任意实数x都有ax?ax?1?0恒成立；Q：关于x的方程x?x?a?0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围。
18．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么 （1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？
119．设0 20．求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4. 参考答案 第1章 常用逻辑用语 §1.1命题及其关系 1?经典例题：【 解析】由 x?1?23?10．，得?2?x ??p：A??x|x??2或x?10?． 22x?2x?1?m?0(m?0)，得1?m?x?1?m． 由 ??q：B={x|x?1?m或x?1?m,m?0}． ∵?p是?q的充分非必要条件，且m?0， ? A?B． ??m?0??1?m?10???1?m??2 即0?m?3 当堂练习： ?1.C; 2.B; 3.A; 4.C; 5.C; 6.C; 7.C; 8.D; 9.B; 10.C; 11. ②; 12. ①④⑤⑥; 13. m= 12(也可为 中国最大的教育门户网站 E度高考网www.gaokao.com 中国最大的教育门户 E度高考网www.gaokao.com m??13或0);14. 充分不必要. 15. 【 解析】 (1)逆命题：若x=0，或y=0则xy=0；否命题：xy≠0，则x≠0且y≠0； 逆否命题：若x≠0，且 y≠0则xy≠0； (2)逆命题：若xy＞0,则x＞0，y＞0；否命题：若x≤0，或y≤0则xy≤0； 逆否命题：若xy≤0；则 x≤0，或y≤0 16. 【 解析】 “x?M或x?P”?x?R，x?(M?P)?x?(2,3)，因为“x?M或x?P”? x?(M?P)，?M或x?P但x?(M?P)?x， 故 “x?M或x?P”是“x?(M?P)” 的必要不充分条件． 17. 【 解析】方程①有实根的充要条件是??16?4?4?m?0,解得m?1. 5m??.22??16m?4(4m?4m?5)?04方程②有实根的充要条件是，解得 ??5?m?1.而m?Z,4故m=－1或m=0或m=1. 当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解； 当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m=1. 18. 【 解析】根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p:p中a、b满足的前提是 Δ=a2－4b≥0) ?a?2??b?1???1???1(注意 结论是q:????1???1，得a=α+β＞2,b=αβ＞1,∴q?p (1)由?111(2)为证明pq,可以举出反例：取α=4,β=2,它满足a=α+β=4+2＞2,b=αβ=4×2=2＞1, 但q不成立. 综上讨论可知a＞2,b＞1是α＞1,β＞1的必要但不充分条件. §1.2简单的逻辑联结词 经典例题：【 解析】由已知p，q中有且仅有一为真，一为假． ???0?p:?x1?x2??m?0?m?2?x?x?1?0?12（1）若p假q真，则 ． q:??0?1?m?3． ； ?m?2?1?m?2?1?m?3?中国最大的教育门户网站 E度高考网www.gaokao.com 中国最大的教育门户 E度高考网www.gaokao.com （２）若p真 ?m?2?m?3?m?1或m?3?q假，则． 综上所述：m??1,2???3,???． 当堂练习： 1.C; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.B; 7.A; 8.B; 9.B; 10.B; 11. 此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；??; 12. 6是12或24的约数；6是12的约数，也是24的约数；6不是12的约数; 13. ②;14. ②③④. 15. 【解】 ① p∨q：(2=2)∨(2＞2)，即2≥2．(真) 由于2=2是真命题，所以2≥2是真命题． ②p∨q：(正方形的对角线互相垂直)∨(矩形的对角线互相平分)． 由于两个命题都是真的，所以p∨q是真命题． 16. 【 解析】 设使p的解集为(??,??) 的a的集合为A，使f(x)在(??,??) 内是增函数的11(??,?)?(,??)a的集合为B，则本题即求A?B,答案为23． 17. 【 解析】 若按一般思维习惯，对三条抛物线与x轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x轴无公共点的a的范围”则很简单. ??1??4a?2?4??4a?3??0?2???a?1?4a2?0???2?3?3?2I?R,A??,?1??a??1?3?4a?4??2a??0???2??， 2? 由 解之，得，记 3??A???,????1,???R??2??则所求a的范围是 ? 18. 【 解析】 ∵p且q为假∴p、q至少有一命题为假，又“非q”为假 ∴q为真，从 而可知p为假. ?|x2?x|?6?x?Z由p为假且q为真，可得：? ?x2?x?6??2?x?x??6?x?Z?即? ?x2?x?6?0??2?x?3??2??x?x?6?0??x?R?x?Z?x?Z??∴? 故x的取值为：－1、0、1、2. §1.3全称量词与存在量词 经典例题：【 解析】 ⑴全称命题⑵全称命题⑶存在性命题．⑷存在性命题． 当堂练习： x∈Q,x2∈Q; 12. ?x∈R,x∈Q; 1.A; 2.C; 3.C; 4.C; 5.C; 6.C; 7.A; 8.D; 9.C; 10.C; 11. ?x∈R,x∈?RQ;14. 任意一个三角形都有外接圆 13.?15. 【 解析】 ①假命题②真命题③真命题④假命题 16. 【 解析】 ①全称命题;真命题②全称命题;假命题③存在命题;真命题④存在命题;真命中国最大的教育门户网站 E度高考网www.gaokao.com 中国最大的教育门户 E度高考网www.gaokao.com 题. ,2) 17. 【 解析】 (－∞18. 【 解析】 (1)“对所有的正数x， x ＞x－1”的否定是“存在正数x，x ≤x－1”； (2)“不存在实数x，x2+1＜2x”的否定是“存在实数x，x2+1≥2x ”； (3)“集合A中的任意一个元素都是集合B的元素”的否定是“存在集合A中的元素不是集合B中的元素”； (4)“集合A中至少有一个元素是集合B的元素”的否定是“集合A中的所有元素都不是集合B中的元素”． §1.4常用逻辑用语单元测试 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.D; 7.B; 8.A; 9.D; 10.A; 11. ②④; 12. 平行四边形不一定是菱形；或至少存在一个平行四边形不是菱形; 13. 必要，充分，必要;14. 必要不充分 15．本题考查四种命题间的关系． 解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）． 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）． 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）． （2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）． 否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）． 逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）． 16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式： p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除. p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除. 非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除. ∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数， ∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假. （2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式： p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真. 17．解：对任意实数x都有ax2?a?0?a?0或??ax?1?0恒成立???0 ?0?a?4；关于x的方程x2?x?a?0有实数根 0?a?4,且a??1?4a?0?a?14；如果P正确，且Q 不正确，有 11??a?444；如果Q正确，且P不正确，有 a?0或a?4,且a?11??a?0???,0????,4?4?4?。 。所以实数a的取值范围为 18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它 们的综合结构图，再给予判定． 中国最大的教育门户网站 E度高考网www.gaokao.com 中国最大的教育门户 E度高考网www.gaokao.com 解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知 答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件 11??(1?a)b?(1?a)b???42??11??(1?b)c??(1?b)c???42??11???(1?c)a?4?(1?c)a?2?19．证明：用反证法，假设?，①+②+③得： 31?a?b1?b?c1?c?a3?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a????22222，左右矛盾，故假设不 1成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于4. 20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定. 先证明条件的充分性： ?a?2???a2?4?b,?b?4???4(a2?b)?0,?a?2??2a??4????,?b??4?b??4?(x1?2)?(x2?2)?(x1?x2)?4??2a?4??4?4??8?0,而(x1?2)(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4?b?4a?4??4?8?4?8?0,?(x?2)?(x2?2)?0?x1?2?0?x?2??1????1,(x?2)(x?2)?0x?2?0x?22?1?2?2①、②知“a≥2且|b|≤4” ?“方程有实数根，且两根均小于2”. 再验证条件不必要： ∴方程有实数根 ① 1∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－2<2， ∴“方程的两根小于2” ?“a≥2且|b|≤4”. 综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件. 中国最大的教育门户网站 E度高考网www.gaokao.com