悬臂梁固有频率的计算
试求在x?0处固定、x?l处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。
解：法一：欧拉-伯努利梁理论
?4w(x,t)?2w(x,t)悬臂梁的运动微分方程为：EI+?A?0
?x4?t2；
dw?2w??2w(x?0)?0(2)，2?0(3),(EI2)?0(4)；悬臂梁的边界条件为：w(x?0)?0(1), dx?x?xx?l?xx?l该偏微分方程的自由振动解为w(x,t)?W(x)T(t)，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到
W(x)?C1cos?x?C2sin?x?C3cosh?x?C4sinh?x，T(t)?Acoswt?Bsinwt；其中??将边界条件（1）、（2）带入上式可得C1?C3?0，C2?C4?0；进一步整理可得
4?A?2EI
W(x)?C1(cos?x?cosh?x)?C2(sin?x?sinh?x)；再将边界条件（3）、（4）带入可得
?C1(cos?l?cosh?l)?C2(sin?l?sinh?l)?0；?C1(?sin?l?sinh?l)?C2(cos?l?cosh?l)?0要
求C1和C2有非零解，则它们的系数行列式必为零，即
?(cos?l?cosh?l)?(?sin?l?sinh?l)?(sin?l?sinh?l)=0
?(cos?l?cosh?l)?nl表示振动系统的固有频率：该方程的根cos(?l)cosh(?l)??1nn所以得到频率方程为：；
EI1?nl（n?1,2,...）的值在书P443表8.4中给出，2wn?(?nl)(),n?1,2,...满足上式中的各
?Al42现罗列如下：?1l?1.875104，?2l?4.694091，?3l?7.854757，?4l?10.995541，?5l?14.1372；
C2n可以表示为C??C(cos?nl?cosh?nl)；若相对于?n的C2值表示为C2n，根据式中的C1n，2n1nsin?nl?sinh?nl1
??cos?nl?cosh?nl因此Wn(x)?C1n?(cos?nx?cosh?nx)?(sin?nx?sinh?nx)?,n?1,2,...由此可得
sin?nl?sinh?nl??到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：
11EI1EIEI22?1?1.875104()2，?2?4.694091()2，?3?7.854757()2， 444?Al?Al?Al2EI1EI122?4?10.995541()，?5?14.1372()2； 44?Al?Al2
法二、铁摩辛柯梁梁理论
1.悬臂梁的自由振动微分方程：
?4w(x,t)?2w(x,t)E?4w?2I?4wEI??A??I(1?)??0
kG?x2?t2kG?t4?x4?t2；?w??边界条件：w(x?0)??(x?0)?（?01），???x?xx?l设方程的通解为：w(x,t)?Csin； ?（02）x?ln?xcoswnt；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可ln2?2r2n2?2r2E?2n4?4IEI22)?w(1??)??0r?，??得到频率方程为：w(；其中；若转224kGllkGlA?A4n2n?r4动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为wn求得固有频率为：
??n2?2l2EIn2?2；当n=1,2,3,4,5时可分别=?Al2EI?2EI4?2EI9?2EI16?2EI25?2w1?，w2?，w3?，w4?，w5?。22222?Al?Al?Al?Al?Al
多自由度系统频率的计算方法
等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量m1?m2?m3?m4?m5?m。 51.邓克莱法
邓克莱公式为：
2
l38l39l364l3l3,a22?,a33?,a44?,a55?，?a11m1?a22m2??a55m5 ，其中a11??12375EI375EI125EI375EI3EI1mm1?m2?m3?m4?m5?；将其代入上式可求得系统的基频为：w152EI12.887()24?Al，此基频比用伯努
EI1?1?1.875104()2 4?Al偏小，误差为17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。利-欧拉梁求得的一阶固有频率
2.瑞利法
系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为
?m?01?M??05??0??0?l3?375EI??l3?150EI?4l3????375EI?3?11l?750EI?3?7l?375EI?0m00000m00000m00?0?? 0??0?m??11l3750EI4l375EI27l3250EI64l3375EI88l3375EI7l3375EI26l3375EI18l3125EI88l3375EIl33EI???????K???1?EI?l3???????l3150EI8l3375EI14l3375EI4l375EI26l3375EI4l3375EI14l3375EI9l3125EI27l3250EI18l3125EI?51779?22???86279?58??32221?54??27000??181?4500??181?862795811172161?1244719394500181?157501813222154?124471935622132?26163221422144?2700018194500181?26163223827931?825001814500?181???15750?181??14221?44??82500??181?6029??30?
TA?(40141279436600)取静变形曲线为假设阵型，设有
1122000EIT28401503l3m2AMA?649418m,AKA?,AM?MA?
l375EITTATKA8.64EIATMA8.57EI=,R(A)??所以R?(A)?T??AMA?l4ATM?MA?l4，
此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频EI1?1?1.875104()2 4?Al率偏大，误差为15.23%，与瑞利法的推导预期相符。
2
3.里茨法
系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为?1?(12345)T，?2?(13579)T；
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