20 等差数列
小题基础练?
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝( ) A．－12 B．－13 C．12 D．13 答案：B
解析：通解 设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.
优解 由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.
2．[2019·湖南衡阳二十六中模拟]在等差数列{an}中，a3＝1，公差d＝2，则a8的值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12 答案：C
解析：a8＝a3＋5d＝1＋5×2＝11，故选C.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案：D
解析：由S3＝3a2＝6，得a2＝2，又a3＝0，所以公差d＝－2.
4．[2019·南宁摸考]等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于( )
A．－18 B．27 C．18 D．－27 答案：B
解析：解法一 设等差数列的公差为d，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝6，所以a1＋4d＝3.于是{an}的前9项和S9
9×8
＝9a1＋2d＝9(a1＋4d)＝9×3＝27，故选B.
解法二 由等差数列的性质，得a1＋a9＝a3＋a7＝6，所以数
9?a1＋a9?9×6
列{an}的前9项和S9＝＝2＝27，故选B. 2
5．[2019·西安八校联考(一)]设数列{an}是等差数列，且a2
＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4
解析：设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得???a1＋d＝－6，?a1＝－9，?解得?于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)???a1＋5d＝6，?d＝3.3×24×3
＋2×3＝－18，S4＝4×(－9)＋2×3＝－18，所以S4＝S3，S4 6．[2019·茂名模拟]我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 答案：A 解析：依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A. 7．[2019·贵州遵义模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2－18x＋p＝0的两根，则S9＝( ) A．9 B．81 C．5 D．45 答案：B 解析：由题意，根据根与系数的关系知a4＋a6＝18，故S999 ＝2(a1＋a9)＝2(a4＋a6)＝81.故选B. 8．[2019·江西K12联盟质量检测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＋a8＝9，则S9＝( ) A．27 B．18 C．9 D．3 答案：A 解析：∵等差数列{an}中，a3＋a4＋a8＝9，∴3a1＋12d＝9， ?a1＋a9?×9 得a1＋4d＝3，即a5＝3，∴S9＝＝9a5＝27.故选A. 2 二、非选择题 9．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2 ＋b2＝100，则a37＋b37＝________. 答案：100 解析：∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列． ∵a1＋b1＝25＋75＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的公差为0，∴a37＋b37＝100. 10．已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________. 答案：20 解析：解法一 设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1 ＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20. 解法二 由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以 5D＝2. 所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20. 11．[2019·广东深圳中学月考]已知数列{an}为等差数列，a3 ＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n等于________． 答案：6 ??a3＝7， 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得?故 ??2a4＝10， d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an>0，得n<6.5.所以在等差数列{an}中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使Sn取到最大值的n的值为6.