初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)

初一数学竞赛讲义

重难点有效突破

知识点梳理及重点题型举一反三练习

专题01 质数那些事

阅读与思考

一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除,就叫作质数(也叫素数);如果能被1和本身以外的自然数整除,就叫作合数;自然数1既不是质数,也不是合数,叫作单位数.这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类:

关于质数、合数有下列重要性质:

1.质数有无穷多个,最小的质数是2,但不存在最大的质数,最小的合数是4. 2.1既不是质数,也不是合数;2是唯一的偶质数.

3.若质数

|

,则必有

|或

|

4.算术基本定理:任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系):

N= ).

正整数N的正约数的个数为(1++

)(1+

+…+

)…(1+

)(1++…+

)…(1+).

),所有正约数的和为(1+

+…

,其中

为质数,

为非负数(=1,2,3,…,

例题与求解

【例1】已知三个质数

,,满足

++

=99,那么

的值等于_________________.

(江苏省竞赛试题)

解题思想:运用质数性质,结合奇偶性分析,推出

,的值.

【例2】若

为质数,

+5仍为质数,则

+7为( )

A.质数 B.可为质数,也可为合数 C.合数 D.既不是质数,也不是合数

(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想:从简单情形入手,实验、归纳与猜想.

【例3】求这样的质数,当它加上10和14时,仍为质数.

(上海市竞赛试题) 解题思想:由于质数的分布不规则,不妨从最小的质数开始进行实验,另外,需考虑这样的质数是否唯一,按剩余类加以深入讨论.

【例4】⑴ 将1,2,…,2 004这2 004个数随意排成一行,得到一个数一定是合数.

⑵ 若

是大于2的正整数,求证:

-1与

,求证:

+1中至多有一个质数.

⑶ 求360的所有正约数的倒数和.

(江苏省竞赛试题) 解题思想:⑴将1到2 004随意排成一行,由于中间的数很多,不可能一一排出,不妨找出无论怎样排,所得数都有非1和本身的约数;⑵只需说明

-1与

+1中必有一个

是合数,不能同为质数即可;⑶逐个求解正约数太麻烦,考虑整体求解.

【例5】设和是正整数,≠

整除

,是奇质数,并且或

,不妨设

,求+的值.

解题思想:由题意变形得出.由质数的定义得到2-1=1

或2-1=

.由≠及2-1为质数即可得出结论.

【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数,则称它是一个“绝对质数”[如2,3,5,7,11,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733),…都是质数].求证:绝对质数的各位数码不能同时出现数码1,3,7,9.

(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想:一个绝对质数如果同时含有数字1,3,7,9,则在这个质数的十进制表示中,不可能含有数字0,2,4,5,6,8,否则,进行适当排列后,这个数能被2或5整除.

能力训练

A级

1.若

,,,为整数,

=1997,则

自然数中,已知共有)=__________.

,则

的最小值为__________.

=________.

2.在1,2,3,…,这个个偶数,则(

3.设

)+(

个质数,个合数,个奇数,

,为自然数,满足1176=

(“希望杯”邀请赛试题) 4.已知

是质数,并且

+3也是质数,则

-48的值为____________.

(北京市竞赛试题) 5.任意调换12345各数位上数字的位置,所得的五位数中质数的个数是 ( ) A.4 B.8 C.12 D.0 6.在2 005,2 007,2 009这三个数中,质数有 ( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

(“希望杯”邀请赛试题) 7.一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位中,质数有( )

A.1个 B.3 个 C.5个 D.6 个

(“希望杯”邀请赛试题)

8.设

,都是质数,并且

=,

<

.求

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