初一数学竞赛讲义
重难点有效突破
知识点梳理及重点题型举一反三练习
专题01 质数那些事
阅读与思考
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：
关于质数、合数有下列重要性质：
1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．
3．若质数
|
，则必有
|或
|
．
4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：
N= )．
正整数N的正约数的个数为(1＋＋
)(1＋
＋…＋
)…(1＋
)(1＋＋…＋
)…(1＋)．
)，所有正约数的和为(1＋
＋…
，其中
，
为质数，
为非负数(=1，2，3，…，
例题与求解
【例1】已知三个质数
，，满足
＋
＋＋
=99，那么
的值等于_________________．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出
，
，的值．
【例2】若
为质数，
＋5仍为质数，则
＋7为( )
A．质数 B．可为质数，也可为合数 C．合数 D．既不是质数，也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．
【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．
【例4】⑴ 将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数一定是合数．
⑵ 若
是大于2的正整数，求证：
－1与
，求证：
＋1中至多有一个质数．
⑶ 求360的所有正约数的倒数和．
(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明
－1与
＋1中必有一个
是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．
【例5】设和是正整数，≠
整除
，是奇质数，并且或
，不妨设
，求＋的值．
解题思想：由题意变形得出．由质数的定义得到2－1=1
或2－1=
．由≠及2－1为质数即可得出结论．
【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．
(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．
能力训练
A级
1．若
，，，为整数，
=1997，则
自然数中，已知共有)=__________．
，则
的最小值为__________．
=________．
2．在1，2，3，…，这个个偶数，则(
3．设
－
)＋(
－
个质数，个合数，个奇数，
，为自然数，满足1176=
(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知
是质数，并且
＋3也是质数，则
－48的值为____________．
(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( ) A．4 B．8 C．12 D．0 6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )
A．1个 B．3 个 C．5个 D．6 个
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设
，
，都是质数，并且
＋
=，
<
．求
．