中学数学中常用的七类构造法

1.构造法概述

1.1 一个简单例子

证明存在两个无理数x,y,使z?xy是有理数[1]

传统证明方法是,假设对于任何两个无理数x,y,都有z?xy是无理数。那么就有

?2?22一定是无理数,进而?2????2???2也是无理数,而

?2????2????(2)2?2是有理数,所以假设不成立

而我们如果令x?2,y?log29,我们已知2和log29都是无理数,此时

xy?(2)log29?2log23?3是有理数,问题得证。

上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。

1.2构造法的发展历史

到底什么是构造法呢?构造法就是按照固定方式,经过有限步骤能够实现的方法。引用韦尔(H.Weyl)在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时,有一件最为门外汉所不能理解的事情,那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在,因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。除此之外,数学最初的定义有很多都是构造性的定义,比如:将线段绕其一个端点在平面内旋转一周,它的另一端点所画出的图形叫圆。构造法起源于数学之初,但它的发展是在19世纪末。

19世纪末,克罗内克和庞加莱基于数学的可信性,提出了“存在必须是被构造的”观点,创立了早期的直观数学学派。但是他们把直观数学推崇到极致,反对一切非构造性数学内容,搞得数学复杂难懂。随后马尔科夫提出算法数学,把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。但是算法数学以递归函数为基础,大部分人同样难以理解。直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书,摆脱了算法数学对递归函数的依赖,宣告现代构造数学的形成。

时至今日,构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域,而且在数值分析,拓扑学领域也大有用武之地。[3]

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1.3 中学数学需要数学构造法

除了高等数学,现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。《高中数学教学大纲》中就明确规定了学习数学不仅包括数学内容,数学语言,更重要是数学思想、方法。

在高中数学解题过程里,我们常常会遇到无从下手、常规的方法不能快速、有效解决的问题,这时我们可以另辟蹊径,利用这种特殊的数学方法尝试解决问题——构造法。

2.中学解题中常用的几类构造法

运用构造法解题常常是因为我们常规思维定式探求解题思路受阻,这时我们根据题设特点,用已知元素和关系式构造一个新的数学形式,如:函数、方程、图形等,这样可以绕过阻碍,得到解题的思路和方法。中学阶段应用构造法时所需要构造的新的数学形式很多,包括构造图形、构造方程、构造函数、构造数列、构造命题、构造向量类、构造特殊模型等。我们就上面七种构造形式来一一探究,熟悉构造法解题过程中运用的构造技巧,以及构造法解题的本质,对问题的化归。

2.1构造图形

代数是数字和文字的组合,但是这并不代表代数和图形完全没有关系,对于一些代数的问题,我们如果能通过途径构造相应的图形,此时解题过程便十分直观、清晰。

例1.1 已知a?0,b?0,a?b?1,求证:2?a?11[4]

?b??2. 22111??1??因为a?b?1,所以?a??,??b???2,(a?)2?(b?)2?(2)2,

2??2?22?这时我们想到这和勾股定理有些相似,我们是不是可以尝试构造一个直角三角形,于是有:如图1.1

证明:构造如图的直角三角形,根据定理,三角形两边之和大于第三边, 所以2?a?1111?b?,而a??2cos?,b??2sin?,

2222所以a?11??b??2(cos??sin?)?2?2sin(??)?2 224

2

综上所述,2?a?11?b??2 22

图1.1

上面这个问题因为出现了形如a2?b2?c2的式子,所以我们想到构造一个直角三角形,如果题目中没有给出这么明显的唯一特征,我们能不能构造呢?

例1.2正数a,b,c,A,B,C,满足条件a?A?b?B?c?C?k,求证:

aB?bC?cA?k2

由求证的不等式aB,bC,cA,我们想到这是不是和面积有关,于是我们构造一个三角形,并且题干中a?A?b?B?c?C?k,所以我们构造一个等边三角形。于是有图1.2

图1.2

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证明:构造一个如图的等边三角形PQR,其中各个边角的关系如下

PN?C,NQ?c,QL?A,LR?a,RM?B,MP?b,考虑图形中的面积关系,有

S?LRM?S?MPN?S?NQL?S?PQR,又S?LPM?S?NQL?1?1?aBsin,S?MPN?bCsin, 23231?1?cAsin,S?PQR?k2sin,带入S?LRM?S?MPN?S?NQL?S?PQR,得23231?1?1?1?aBsin+bCsin+cAsin

2式两边的sin?都是sin?3,所以约掉,最后化简到aB?bC?cA?k2的形式。考虑

到面积更为简单的形式aB,bC,cA可以是长方形的面积,此时我们可以构造一个矩形,又a?A?b?B?c?C?k,我们不妨构造一个如图1.3的正方形.

图1.3

方法二,证明:构造一个如图所示的正方形PQRT,其中各边关系如下,

PM?a,MT?A,TN?c,NR?C,RS?b,SQ?B,QL?b,LP?B,又正方形有如下

关系,S阴影1?S阴影2?S阴影3?SPQRT,带入数据得aB?bC?cA?k2。

虽然数与形是数学中不同的领域,但是这两个领域不是相互独立的。解题中亦是如此,如果在数学问题中我们给一些代数关系赋予几何意义,那么问题往往变得形象、直观。当然在利用图形直观分析解决问题时,我们构造的图形也有简单复杂之分,所以构造图形时我们要注意一点,构造几何图形要有正确的思考方

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法,不能盲目去套用图形。从上面两个问题中我们可以简单总结一下思考原则:首先寻找题目中的条件与所求结论中的几何含义,然后考虑可以借用哪些有关的几何概念和性质,最后根据这些选择一个最好的几何图形。

2.2构造方程

方程作为数学解题中一个很重要的工具,是因为方程能把未知和已知联系在一起。遇到一些无从下手的问题时,构造方程可以把条件和结论之间联系起来,使问题中隐藏的关系显露出来,从而快速找到问题的突破口,进而解决问题。

例2.1 若p,q?R,且p3?q3?2,求证:0?p?q?2

题干中给出的是p3?q3的具体值,要求的结论是p?q的取值范围,我们尝试由p3?q3?2出发,有p3?q3?(p?q)3?3pq(p?q)?2,此时出现了要求的

p?q,但是多出来了pq,我们不妨利用方程,把pq解出来,这是p?q和pq显

然是方程的两个根,于是题目隐藏的关系暴露出来,解题思路也由此而生。

证明:由p3?q3?2,有p3?q3?(p?q)3?3pq(p?q)?2,

k2?2显然p?q?0,设p?q?k,则pq?

3kk2?2?0,则p,q为方程的两个实根 构造二次方程x?kx?3k2k2?2?0,解得,0?k?2 故??k?4?3k2即0?p?q?2

上面的过程中构造了一个方程,然后我们要求的p?q的取值范围就变成了,二次方程有实根,解一个判别式大于等于零的不等式。

例2.2 已知a,b,c?R,满足a?b?c?0和abc?2,求证:a,b,c中至少有一个不小于2。[6]

和例2.1中类似,我们可以通过构造方程来发现隐藏的关系。 证明:由a?b?c?0,显然a,b,c中至少有个大于零,不妨设a?0,

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