限时规范训练二十一 坐标系与参数方程
限时30分钟，实际用时
分值40分，实际得分
解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)
1．(2017·河南六市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
2
2
?x＝7cos α，
?y＝2＋7sin α
(其中α为参数)，曲线C2：(x－1)＋y＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程．
π
(2)若射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.
6
?x＝7cos α，
解：(1)因为曲线C1的参数方程为?
?y＝2＋7sin α所以曲线C1的普通方程为x＋(y－2)＝7. 因为曲线C2：(x－1)＋y＝1，
2
2
2
2
2
(其中α为参数)，
所以把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－1)＋y＝1， 得到曲线C2的极坐标方程(ρcos θ－1)＋(ρsin θ)＝1， 化简得ρ＝2cos θ.
π??π??(2)依题意设A?ρ1，?，B?ρ2，?， 6??6??
因为曲线C1的极坐标方程为ρ－4ρsin θ－3＝0， π
将θ＝(ρ＞0)代入曲线C1的极坐标方程，
6得ρ－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3，
π
同理，将θ＝(ρ＞0)代入曲线C2的极坐标方程．
6得ρ2＝3，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－3.
??x＝tcos α，
2．(2017·武昌区调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1：?
?y＝tsin α?
2
2
2
22
(t为参数，t≠0)，
其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x＋y－23x＝0.
2
2
2
2
?x＋y－2y＝0，联立?22
?x＋y－23x＝0，
22
??x＝0，解得?
?y＝0，?
3
?x＝?2，或?
3y＝??2.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和?
?33?，?. ?22?
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－23cos α| π????＝4?sin ?α－??. 3????
5π
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
6
3．(2017·广东普宁模拟)在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝4cos θ，点
2
M?1，?，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，
2
??
π??
且与曲线C交于A，B两点．
(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程． (2)求点M到A，B两点的距离之积． 解：(1)令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρsinθ＝4cos θ，得ρsinθ＝4ρcos θ， 所以y＝4x，所以曲线C的直角坐标方程为y＝4x， 3π
因为点M的直角坐标为(0,1)，直线l的倾斜角为，
43π
x＝tcos ，??4
故直线l的参数方程为?3π
y＝1＋tsin ，??42
?x＝－t，?2即?
2
y＝1＋t，??2
2
2
2
2
2
(t为参数)，
(t为参数)．
2
?x＝－t，?2
(2)把直线l的参数方程?
2
y＝1＋t，??2
(t为参数)代入曲线C的方程得?1＋
?
?2?t?＝2?
2
4×?－??2?t?， 2?
2
即t＋62t＋2＝0，
Δ＝(62)2－4×2＝64，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则?
?t1＋t2＝－62，?t1t2＝2，
又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|·|MB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝2.
??x＝4＋5cos t，
4．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知曲线C1的参数方程为?
?y＝5＋5sin t?
(t为参数)以坐
标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程．
(2)求C1与C2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将?
?x＝4＋5cos t?
??y＝5＋5sin t2
，消去参数t，
2
化为普通方程(x－4)＋(y－5)＝25， 即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0.
??x＝ρcos θ，
将?
?y＝ρsin θ，?
2
2
代入x＋y－8x－10y＋16＝0，得ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16
222
＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
因为曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，变为ρ＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x＋
2
2
2
y2＝2y，即x2＋y2－2y＝0.
(2)因为C1的普通方程为x＋y－8x－10y＋16＝0，C2的普通方程为x＋y－2y＝0，
??x＋y－8x－10y＋16＝0，由?22
?x＋y－2y＝0，?
2
2
2
2
2
2
??x＝1，
解得?
?y＝1?
??x＝0，
或?
?y＝2.?
π??π??所以C1与C2交点的极坐标分别为?2，?，?2，?.
4??2??