课时1 导数与函数的单调性
题型一 不含参数的函数的单调性
lnx
例1 求函数f(x)＝的单调区间．
x解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 1－lnxlnx
因为f(x)＝，所以f′(x)＝2.
xx
当f′(x)>0，即0
思维升华 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
1
函数y＝x2－lnx的单调递减区间为( )
2
A．(－1,1] C．[1，＋∞) 答案 B
2
121x－1
解析 y＝x－lnx，y′＝x－＝
2xx
B．(0,1]
D．(0，＋∞)
＝
?x－1??x＋1?
(x>0)． x
令y′≤0，得0 题型二 含参数的函数的单调性 例2 已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)． (1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值； (2)求函数y＝f(x)的单调区间． 解 (1)函数f(x)的定义域为R. ex 由已知得f′(x)＝x－a. e＋1∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数， ∴f′(－x)＝－f′(x)， ex1 即－x－a＝－x＋a，解得a＝. 2e＋1e＋1 e ex1 (2)由(1)知f′(x)＝x－a＝1－x－a. e＋1e＋1①当a≥1时，f′(x)<0恒成立， ∴a∈[1，＋∞)时， 函数y＝f(x)在R上单调递减． ②当0 由f′(x)>0得(1－a)(ex＋1)>1， 1a 即ex>－1＋，解得x>ln， 1－a1－a由f′(x)<0得(1－a)(ex＋1)<1， 1a 即ex<－1＋，解得x 1－a1－a∴a∈(0,1)时， a 函数y＝f(x)在(ln，＋∞)上单调递增， 1－aa 在(－∞，ln)上单调递减． 1－a 综上，当a≥1时，f(x)在R上单调递减； a 当0 －x ?? a 在?－∞，ln 1－a?上单调递减． ?? 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数． 讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性． 解 f(x)的定义域为(0，＋∞)， a－12ax2＋a－1f′(x)＝＋2ax＝. xx ①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当0 1－a ，则当x∈(0, 2a 1－a )时，f′(x)<0；当2a x∈( 1－a ，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, 2a1－a )上单调递减，在( 2a1－a ，＋∞)2a 上单调递增． 题型三 利用函数单调性求参数 1a 例3 设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. 32(1)求b，c的值； (2)若a>0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 解 (1)f′(x)＝x2－ax＋b， ???f?0?＝1，?c＝1， 由题意得?即? ?f′?0?＝0，???b＝0. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)， 单调递减区间为(0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在x∈(－2，－1)， 使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立， 2 即x∈(－2，－1)时，a<(x＋)max＝－22， x2 当且仅当x＝即x＝－2时等号成立． x 所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)． 引申探究：在本例3(3)中， 1．若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？ 解 方法一 ∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数， ∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立， ???g′?－2?≤0，?4＋2a＋2≤0，∴?即? ?g′?－1?≤0，???1＋a＋2≤0， 解之得a≤－3， 即实数a的取值范围为(－∞，－3]．