第三章 导数及其应用
A组题（共100分）
单元测试
一．选择题（每题7分）
1.函数f(x)?2x?6x的“临界点”是 A．1
B.?1 C．?1和1
323 D. 0
2．函数f(x)?x?x?x的单调减区间是
A．（??,?) B.(1,?) C．（??,?)，(1,?) D.(?,1) 3.x0为方程f?(x)?0的解是x0为函数f(x)极值点的
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数y?f(x)的图象如图所示，则导函数y?f?(x)的图象可能是
y f(x) 131313 y O x x y y x y O O x O A
x O B
C D
5.福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时，原油温度（单位：C)为f(x)?值是 A．8
B.
013x?x2?8(0?x?5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小320 C．?1 3
D. ?8
二．填空（每题6分） 6．函数f(x)?lnx?121x在[,2]上的极大值是 . 227．函数f(x)?5?x?cosx(x?(0,2?))的单调增区间是 . 8．函数f(x)?x?332x?8(x?[0,2])的最小值是 . 29．已知函数f(x)?ax3?2x(a?0),则f(x)单调递增区间是 . 三．解答题（13+14+14）
x310．已知函数f(x)?，定义域为（-2，-1）,求f(x)的极小值.
x?111．已知m?0，函数f(x)?x?mx在[2,?)上是单调函数，求m的取值范围.
312. 2007年9月5日生效的一年期个人贷款利率为7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年
后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为x，且 x?（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款. (1)写出小陈应支付的利息h(x);
(2) 一年期优惠利率x为多少时,利息差最大?
B组题（共100分）
一．选择题（每题7分）
13．若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f?(x)?0在R上恒成立是f(x)在区间
(??,?)内递增的
A．充分不必要条件
C. 充要条件
B. 必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
214．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1?17x，生产总成本y2(万元)
也是产量x(千台)的函数；y2?2x?x(x?0)，为使利润最大，应生产 A．6千台
B. 7千台 C．8千台
D.9千台
3215．函数f(x)??x (a?b?1),则 exA．f(a)?f(b) B. f(a)?f(b)
C．f(a)?f(b) D.f(a),f(b)大小关系不能确定
16．函数f(x)?x?6bx?3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是
A.（0，1） B.（-∞，1） C.（0，+∞） D.（0，
31） 217．f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x?0时，f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0
且f(?2)?0,则不等式f(x)g(x)?0的解集为 A．（－2，0）∪（2，+∞） C．（－∞，－2）∪（2，+∞） 二．填空：（每题6分）
（ ）
B．（－2，0）∪（0，2）
D．（－∞，－2）∪（0，2）
218. 设x?1与x?2是函数f(x)?alnx?bx?x的两个极值点.则常数a= . 19．函数f(x)?x?ax在[1，+∞)上是单调递增函数，则a的最大值是____________. 20．在半径为6的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 21．设某种产品的成本与产量x的函数关系是y?x?18x?116x?5,则产量为 时,该产品的边际成本最小.
三．解答题（13+14+14）
32322．已知函数f(x)?ax?a若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a 的?2lnx(a?0)，
x取值范围；
23．已知二次函数经过点（2，4），其导数经过点（0，-5）和（2，-1），当（）时，是整数的个数记为。求数列的通项公式；
24、如图,一水渠的横断面是抛物线形，O是抛物线的顶点,口宽EF=4米，高3米 （1） 建立适当的直角坐标系，求抛物线方程. （2） 现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD，要求F C D E 高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大时，所挖的土最少？
C组题（共50分） N M 3225.若a＞3，则函数f(x)=x?ax?1在(0，2)内恰有________个零点. 26．函数f(x)?sinx，则 xA O B A．f(x)在(0,?)内是减函数 C．f(x)在(? B. f(x)在(0,?)内是增函数
D. f(x)在(???,)内是减函数 22??,)内是增函数 22ba27.已知a,b为实数，且b?a?e,其中e为自然对数的底，求证：a?b
*28. 已知函数f(x)?x?(?1)?2lnx(k?N)。
2k（1）讨论函数f(x)的单调性；
2an?3（2）k是偶数时，正项数列{an}满足a1?1，f'(an)??1，求{an}的通项公式；
an参考答案
A组题（共100分）
1．C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.?151 7. (0,2?) 8. 9.(??,?)
2227 411.0 10．极小值 12.解：（1）由题意，贷款量为kx(k?0)，应支付利息h(x)=kx?x?kx （2）小陈的两种贷款方式的利息差为 y??0.1458kx?3kx 令y?=0，解得x?0或x?0.0486 当x?(0.045,0.0486)时，y??0;当x?(0.0468,0.062)时，y??0 2223