2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________
一、填空题
x1.函数f(x)?e?x?1的单调递减区间为 ▲ .
2.已知f(0)?1,f(n)?nf(n?1)(n?N?),则f(4)? ▲ . 23.已知函数f(x)?ax?1?a?0?,g(x)?x?bx。(1)若曲线y?f(x)与曲线
3y?g(x)在它们的交点?1,c?处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2?4b时,求函
数f(x)?g(x)的单调区间,并求其在区间???,?1?上的最大值。
9在点M(3,3)处的切线方程为 . x5.已知函数f(x)?alnx?x2,若对区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式4.曲线y?f(p?1)?f(q?1)?1恒成立,则实数a的取值范围是 .
p?q6.已知函数f(x)?13x?x2?(2a?1)x?a2?a?1,若f?(x)?0在(1,3]上有解,则实数3a的取值范围为 ▲ .
pp
7.若函数f(x)=x- x+2在(1,+∞)上是增函数,则实数p的取值范围是___________________.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数f(x)?e(x?0)的图象上的动点,该图象在P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________ 关键字:动点;求切线方程;求导数;求最值
9.若直线y=kx-3与y=2lnx曲线相切,则实数K=_________2e 10.已知曲线y?xe上一点P(1,e)处的切线分别交x轴、y轴于A,B两点,O为坐标x原点,则△OAB的面积为 。
11.已知a?2b?0,且关于x的函数f(x)=与b的夹角范围为_______.
131x?ax2?a?bx在R上有极值,则a3212.已知函数f(x)?x?px?qx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的极大值和极小值分别为 和 。
二、解答题 13.已知函数
.(a∈R)
32(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围. 关键字:对数;求最值;求导;恒成立问题;不能参变分离;求参数的取值范围
14.已知m?R,函数f(x)?(x?mx?m)?e. (1)若函数f(x)没有零点,求实数m的范围.
(2)若函数f(x)存在极大值,并记为g(m),求g(m)的表达式. (3)当m=0时,求证:f(x)?x?x.
15.两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧
上选择一点C
232x建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在0.065.
的中点时,对城A和城B的总影响度为
(1)将y表示成x的函数;
(11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧
上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理
厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。
解法一:(1)如图,由题意知AC⊥BC,BC?400?x,y?其中当x?102时,y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为y?224k?(0?x?20) 22x400?xx A C 49?(0?x?20) x2400?x2B 89?(?2x)18x4?8(400?x2)249?(2)y?2?,y'??3?,令y'?0得223222x(400?x)x(400?x)x400?x18x4?8(400?x2)2,所以x2?160,即x?410,当0?x?410时, 18x4?8(400?x2)2,
422即y'?0所以函数为单调减函数,当46?x?20时, 18x?8(400?x),即y'?0所以函
数为单调增函数.所以当x?410时, 即当C点到城A的距离为410时, 函数
y?49?(0?x?20)有最小值. x2400?x222解法二: (1)同上.
(2)设m?x,n?400?x, 则m?n?400,y?49?,所以 mn4949m?n14n9m11当且仅当y???(?)?[13?(?)]?(13?12)?mnmn400400mn400164n9m?n?240即?时取”=”. ?mn?m?160下面证明函数y?49在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. ?m400?m4949??(?) m1400?m1m2400?m2设0