2016-2017学年度长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研
数 学 试 卷
一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．
1．设集合A?{x|x?2|?1,x?R}，集合B?Z，则A?B?_____________． 2．函数y?sin??x??????（??0）的最小正周期是?，则??____________． 3?3对应的点到原点的距离为__________． 2(2?i)3．设i为虚数单位，在复平面上，复数
4．若函数f(x)?log2(x?1)?a的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a?__________． 5．已知(a?3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n?______． 6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___________种．
7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm、圆心角为270?的扇形，则这个圆锥的体积为_____________cm．
8．若数列{an}的所有项都是正数，且a1?3a2???an?n2?3n（n?N*），则
1?a1a2an????????_____________．
n??n223n?1??lim
9．如图，在△ABC中，?B?45?，D是BC边上的一点，
AD?5，AC?7，DC?3，则AB的长为_____________．
10．有以下命题：
① 若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0}； ② 若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)?f(x)；
③ 若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数；
④ 若函数f(x)存在反函数f?1(x)，且f?1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f?1(x)图像的公共点必在直线y?x上．
其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）．
11．设向量OA?(1,?2)，OB?(a,?1)，OC?(?b,0)，其中O为坐标原点，a?0，b?0，若A、B、C三点共线，则
12
?的最小值为____________． ab
12．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm， 一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点 的最短路线的长为__________cm．
[来源学&科&网Z&X&X&K]
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
213．“x?2”是“x?4”的???????????????????????（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．若无穷等差数列{an}的首项a1?0，公差d?0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是?????????????????????????????（ ）
（A）Sn单调递增 （B）Sn单调递减 （C）Sn有最小值 （D）Sn有最大值
15．给出下列命题：
（1）存在实数?使sin??cos?? （2）直线x??3； 2?2是函数y?sinx图象的一条对称轴；
（3）y?cos(cosx)（x?R）的值域是[cos1,1]；
（4）若?，?都是第一象限角，且???，则tan??tan?．
其中正确命题的序号为??????????????????????????（ ）
（A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）（3）（4） （D）（1）（4）
16．如果对一切正实数x，y，不等式
y9?cos2x?asinx?恒成立，则实数a的取值范围4y是??????????????????????????????????（ ）
（A）???,
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图：已知AB?平面BCD，BC?CD，AD与平面BCD所成的角为30?，且AB?BC?2． （1）求三棱锥A?BCD的体积；
（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
??4? （B）[3,??) （C）[?22,22] （D）[?3,3] ?3?
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin（1）求角A的大小； （2）若a?
19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．
某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘．如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为(1,2)，曲线OD是函数y?ax图像的一部分，过边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y?kx?b（k?0）的图像，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区．
22B?C?2cos2A?7． 23，b?c?3，求b和c的值．
k2（1）求证：b??；
8（2）设点P的横坐标为t， ① 用t表示M，N两点的坐标；
② 将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S?S(t)， 并求S的最大值．
[来源学科网Z,X,X,K]
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分
6分．
已知函数f(x)?9x?2a?3x?3．
（1）若a?1，x?[0,1]，求f(x)的值域； （2）当x?[?1,1]时，求f(x)的最小值h(a)；
（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：① n?m?3；② 当h(a)的定义域为[m,n]时，其值域为[m2,n2]．若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1?a，rSn?anan?1?1，其中a?1，常数r?N．
（1）求证：an?2?an是一个定值；
（2）若数列{an}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n?N，都有an?T?an成立，则称{an}为周期数列，T为它的一个周期），求该数列的最小周期；
（3）若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn?2?3n?1（n?N），问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
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