1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
3x2?52sin? . (1) limx??5x?3x
(2) 已知y?f??dy?3x?2??2,fx?arctanx,则???dx?3x?2?? . x?0(ln3)n(3) 级数?的和为 . n2n?0(4) 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为 . (5) 设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则
X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1?xsin,x?0,?2(1) 设f?x???则f?x?在点x?0处 ( ) x?x?0,?0,(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续
(C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设f?x?为连续函数,且F?x???lnx1xf?t?dt,则F??x?等于 ( )
(A)
11?1?1?1?f?lnx??2f?? (B) f?lnx??f?? xx?x?x?x?11?1?f?lnx??2f?? (D) f?lnx??xx?x??1?f?? ?x?(C)
(3) n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 ( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A和B满足P(BA)?1,则 ( )
(A) A是必然事件 (B) P(BA)?0. (C) A?B (D) A?B
(5) 设随机变量X的密度函数为?(x),且?(?x)??(x).F(x)是X的分布函数,则对任
意实数a,有 ( ) (A) F(?a)?1?1a?(x)dx. (B) F(?a)????(x)dx ?020a(C) F(?a)?F(a) (D) F(?a)?2F(a)?1
三、(本题满分5分)
设z?f?x,y?是由方程z?y?x?xe
四、(本题满分7分)
???x?a?2?2x已知lim??4xedx,求常数a的值. ??ax??x?a??xz?y?x?0所确定的二元函数,求dz.
五、(本题满分9分)
设某产品的成本函数为C?aq?bq?c,需求函数为q?21(d?p),其中C为成本,qe为需求量(即产量),p为单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且d?b,求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.
六、(本题满分8分)
假设:(1) 函数y?f(x)(0?x???)满足条件f(0)?0和0?f(x)?e?1; (2) 平行于y轴的动直线MN与曲线y?f(x)和y?e?1分别相交于点P1和P2; (3) 曲线y?f(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度. 求函数y?f(x)的表达式.
七、(本题满分6分)
假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y?f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0?c?1.
证明:在(0,1)内至少存在一点?,使f??(?)?0.
xx
八、(本题满分10分)
k为何值时,线性方程组
?x1?x2?kx3?4,?2??x1?kx2?x3?k, ?x?x?2x??43?12有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.
九、(本题满分9分)
设二次型
22f?x12?x2?x3?2?x1x2?2?x2x3?2x1x3
T22T经正交变换X?PY化成f?y2?2y3,其中X?(x1,x2,x3)和Y?(y1,y2,y3)是三维列
向量, P是3阶正交矩阵.试求常数?,?.
十、(本题满分8分)
设随机变量X和Y同分布, X的概率密度为
?32?x,0?x?2, f(x)??8?其他.?0,(1) 已知事件A??X?a?和B??Y?a?独立,且P?AUB??(2) 求
3.求常数a. 41的数学期望. X2
十一、(本题满分8分)
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N?t?服从参数为?t的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】
6 5223x?523x?5sin?2lim2?limx??5x?3x??5x?3xx??2xx2sin3x2?56x3sintx洛lim?, 极限 lim?lim?1, 而 lim2x??x??x??t?025x?3x10x5tx【解析】 limsin2x,
3x2?5236sin?2??1?. 所以 limx??5x?3x55(2)【答案】
3? 43x?212,则 g??0??3, ,则有g?0???1, g??x??23x?2?3x?2?【解析】令g?x??由复合函数求导法则知
dydx(3)【答案】
?f??g?0??g??0??3f???1??3arctan1?x?03?. 42
2?ln3【解析】利用几何级数求和公式
?xn?n?0?1ln3(x?1),令x?,即得 1?x2(ln3)n12??. ?nln322?ln3n?01?2?(4)【答案】0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
*由于r?A??2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式Aij?0,故A?0.
所以秩 rA*?0.
若熟悉伴随矩阵A秩的关系式
*
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