概率统计练习册习题解答(定)

品被误认为是合格品的概率是0.05,求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解 设A?“任取一产品,经检查是合格品”, B?“任取一产品确是合格品”,

?B A则 A?BAB) P(A)?P(B)P(A|?P(B)P(A |B)?0.9?8 ?0.96P(B|A)?所求概率为0.?040.?05,0

P(B)P(A|B)0.96?0.98??0.998P(A)0.9428. 6.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,售货员随意取一箱,顾客开箱随意地察看四只,若无残次品,则买下该箱,否则退回.试求:

(1)顾客买下该箱的概率?;

(2)在顾客买下的一箱中,确无残次品的概率?.

2 解 设A?“顾客买下该箱”,B?“箱中恰有i件残次品”,i?0,1,,

(1)

??P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)

44C19C18?0.8?0.1?4?0.1?4?0.94C20C20 ; ??P(B0|A)? (2)P(AB0)0.8??0.85P(A)0.94. 7.为防止意外,在矿内同时安装了两种报警系统A与B,每种报警系统都使用时,对系统A其有效的概率是0.92,对系统B其有效的概率为0.93,在A失效的条件下,B有效的概率为0.85.求:(1)发生意外时,这两种报警系统至少有一个有效的概率;(2)B失灵的条件下,A有效的概率。 解:设A?“报警系统A有效”,B?“报警系统B有效” 则 (1)P(A?B)?1?P(AB)?1?P(A)P(BA)?1?0.08?0.15?0.988 (2)因为:P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.92?0.93?0.988?0.862

P(AB)?P(AB)P(A)?P(AB)0.058???0.829P(B)1?P(B)0.07 8.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80/81,求该射手的命中率. 解 设该射手的命中率为p,由题意

8011?1?(1?p)4(1?p)4?1?p?8181,3 ,p?所以 23.

习题2-1 随机变量及其分布函数

1.试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.

??0,??F1(x)??sinx,??1,??解:

?0,?0?x?, F2(x)??ln(1?x)2,??1?x?x?.2x?0,?x?0,x?0.

F1(x)是;

F2(x)不是,因为

F2(??)?0?1.

x??1,x??1,?1?x?1,x?1.

?0,??1,?2.设随机变量X的分布函数为F(x)??4?ax?b,???1,且P(X?1)?1,试求:(1)常数a,b的值;(2)P(?2?X?1)。 2x?(?1)?解:(1) 由于又

F(?1)?limF(x)1?lim(ax?b)?b?a,即4x?(?1)?. 1?P(X?1)?F(1)?F(1?0)?1?lim(ax?b)?1?a?bx?1?2. 1a?,8由上两式知b?38. 12. P(?2?X?1)?F(1?0)?F(?2)?lim(ax?b)?a?b?(2) x?1?习题2-2 离散型随机变量

1. 填空题

(1) 设随机变量X的分布律为:P?X?k??a, k?1,2,?,N,试确定a?___1______。 N(2) 一批产品共100个,其中有10个次品,从中放回取5次,每次取一个,以X表示任意取出的产品中的次品数,则X的分布为 B(5,0. 1 ) 。

(3) 某射手对一目标进行射击,直至击中为止,如果每次射击命中率都是p,以X

k?1P(X?k)?(1?p)p,k?1,2,?. 。 表示射击的次数,则X的分布律为 2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中,每个盒子所放球的个数不限,以X表示放球最多的盒子中球的个数,试求X的分布列及其分布函数F(x).

1212131C3C4?2?C3C42C3C4?28C31P(X?2)??P(X?3)??P(X?4)??444解:33;327;3??0,x?2,?2?,2?x?3,F(x)??3??23?827?2627,3?x?4,???2?3?827?127?1,x?4.

3. 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问

(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少? (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少? 解:设一周内发生交通事故的次数为X,则X~P?0.3?。

P?X?2??0.32e?0.3?0(1) 2!.0333。 P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.30e?0.3?1?e?0.3(2) 0!?0.259。

4.某人购买某种彩票,若已知中奖的概率为0.001,现购买2000张彩票,试求:(1)概率;(2)至少有3张彩票中奖的概率(用泊松分布近似计算)。

解:设中奖的彩票数为X,则XB(2000,0.001).

(1)

P(X?1)?1?P(X?0)?1?(0.999)2000?0.8648. (2)由于2000?0.001?2,故

P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2) ?1?(202122?0!?1!?2!)e2?1?5e?2?0.3233.

习题2-3连续型随机变量

1. 设连续型随机变量X的密度函数为

?ax2,0?x?1,f(x)???2?x,1?x?2, ??0,其他.试求:(1)常数a的值;(2)随机变量X的分布函数;(3)P(12?X?32)。 27. 此人中奖的 解:(1)由于1??????f(x)dx??axdx??(2?x)dx?01122a13?a?32. 故2. (2)当x?0时,F(x)?0;

当0?x?1时,F(x)??x0321tdt?x322; 当1?x?2时,F(x)??x321tdt??(2?t)dt?2x?x2?10212; 1 当x?2时,F(x)?1. 故,

?0,??1x3,?F(x)??2??1x2?2x?1,?2?1,?x?0,0?x?1,1?x?2x?2. 13321313P(?X?)??x2dx??(2?x)dx?1221216. (3)2?A(1?e?x),x?02. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??,

0,x?0?试求:(1)系数A;(2)X的密度函数;(3)P(1?X?3)。 解:(1)由F(??)?1知,

1?limF(x)?limA(1?e?x)?Ax???x???。

?e?x,x?0;f(x)?F?(x)???0,x?0. (2)

?3?1?1?3P(1?X?3)?F(3)?F(1)?1?e?1?e?e?e (3)。

????3. 设K在(0,5)内服从均匀分布, 求方程4x2?4Kx?K?2?0有实根的概率。

解:所求的概率为:

P(16K2?16?K?2??0)?P?K?2或K??1??P?K?2??P?K??1???5213dx?0?.55 4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度

?1000?2,x?1000f(x)? , ?x??0,其他现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立), 任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500

小时的概率是多少?

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