品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解 设A?“任取一产品，经检查是合格品”， B?“任取一产品确是合格品”，
?B A则 A?BAB) P(A)?P(B)P(A|?P(B)P(A |B)?0.9?8 ?0.96P(B|A)?所求概率为0.?040.?05，0
P(B)P(A|B)0.96?0.98??0.998P(A)0.9428. 6．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：
（1）顾客买下该箱的概率?；
（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率?.
2 解 设A?“顾客买下该箱”，B?“箱中恰有i件残次品”，i?0,1,，
（1）
??P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)
44C19C18?0.8?0.1?4?0.1?4?0.94C20C20 ； ??P(B0|A)? （2）P(AB0)0.8??0.85P(A)0.94. 7．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A与B，每种报警系统都使用时，对系统A其有效的概率是0.92，对系统B其有效的概率为0.93，在A失效的条件下，B有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。 解：设A?“报警系统A有效”，B?“报警系统B有效” 则 （1）P(A?B)?1?P(AB)?1?P(A)P(BA)?1?0.08?0.15?0.988 （2）因为：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.92?0.93?0.988?0.862
P(AB)?P(AB)P(A)?P(AB)0.058???0.829P(B)1?P(B)0.07 8．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率. 解 设该射手的命中率为p，由题意
8011?1?(1?p)4(1?p)4?1?p?8181，3 ，p?所以 23.
习题2-1 随机变量及其分布函数
1．试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.
??0,??F1(x)??sinx,??1,??解：
?0,?0?x?, F2(x)??ln(1?x)2,??1?x?x?.2x?0,?x?0,x?0.
F1(x)是；
F2(x)不是，因为
F2(??)?0?1.
x??1,x??1,?1?x?1,x?1.
?0,??1,?2．设随机变量X的分布函数为F(x)??4?ax?b,???1,且P(X?1)?1，试求：（1）常数a,b的值；（2）P(?2?X?1)。 2x?(?1)?解：(1) 由于又
F(?1)?limF(x)1?lim(ax?b)?b?a，即4x?(?1)?. 1?P(X?1)?F(1)?F(1?0)?1?lim(ax?b)?1?a?bx?1?2. 1a?,8由上两式知b?38. 12. P(?2?X?1)?F(1?0)?F(?2)?lim(ax?b)?a?b?(2) x?1?习题2-2 离散型随机变量
1． 填空题
(1) 设随机变量X的分布律为:P?X?k??a, k?1,2,?，N，试确定a?___1______。 N(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X表示任意取出的产品中的次品数，则X的分布为 B(5,0. 1 ) 。
(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p，以X
k?1P(X?k)?(1?p)p,k?1,2,?. 。 表示射击的次数，则X的分布律为 2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X表示放球最多的盒子中球的个数，试求X的分布列及其分布函数F(x).
1212131C3C4?2?C3C42C3C4?28C31P(X?2)??P(X?3)??P(X?4)??444解：33；327；3??0,x?2,?2?,2?x?3,F(x)??3??23?827?2627,3?x?4,???2?3?827?127?1,x?4.
3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问
(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？ 解：设一周内发生交通事故的次数为X，则X~P?0.3?。
P?X?2??0.32e?0.3?0（1） 2!.0333。 P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.30e?0.3?1?e?0.3（2） 0!?0.259。
4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1）概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。
解：设中奖的彩票数为X，则XB(2000,0.001).
（1）
P(X?1)?1?P(X?0)?1?(0.999)2000?0.8648. （2）由于2000?0.001?2，故
P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2) ?1?(202122?0!?1!?2!)e2?1?5e?2?0.3233.
习题2-3连续型随机变量
1. 设连续型随机变量X的密度函数为
?ax2,0?x?1,f(x)???2?x,1?x?2, ??0,其他.试求：（1）常数a的值；（2）随机变量X的分布函数；（3）P(12?X?32)。 27. 此人中奖的 解：（1）由于1??????f(x)dx??axdx??(2?x)dx?01122a13?a?32. 故2. （2）当x?0时，F(x)?0；
当0?x?1时，F(x)??x0321tdt?x322； 当1?x?2时，F(x)??x321tdt??(2?t)dt?2x?x2?10212； 1 当x?2时，F(x)?1. 故，
?0,??1x3,?F(x)??2??1x2?2x?1,?2?1,?x?0,0?x?1,1?x?2x?2. 13321313P(?X?)??x2dx??(2?x)dx?1221216. （3）2?A(1?e?x)，x?02. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??,
0，x?0?试求：（1）系数A；（2）X的密度函数；（3）P(1?X?3)。 解：（1）由F(??)?1知，
1?limF(x)?limA(1?e?x)?Ax???x???。
?e?x,x?0;f(x)?F?(x)???0,x?0. （2）
?3?1?1?3P(1?X?3)?F(3)?F(1)?1?e?1?e?e?e （3）。
????3. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程4x2?4Kx?K?2?0有实根的概率。
解：所求的概率为：
P(16K2?16?K?2??0)?P?K?2或K??1??P?K?2??P?K??1???5213dx?0?.55 4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度
?1000?2，x?1000f(x)? ， ?x??0，其他现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500
小时的概率是多少？