【高考领航】2016高三数学一轮复习 第8章 第7课时 抛物线课时
训练 文 新人教版
A级 基础演练
1．已知AB是抛物线y＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( ) A．2 3C. 2
1B. 25D. 2
2
解析：选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是
x1＋x23
2
＝. 2
2
2．(2014·高考辽宁卷)已知点A(－2，3)在抛物线C：y＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( ) 4A．－
33C．－
4
B．－1 1D．－
2
解析：选C.求出F点的坐标，利用斜率公式可得直线AF的斜率． ∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上，∴＝2，∴p＝4.
2∴抛物线的方程为y＝8x，则焦点F的坐标为(2，0)．
2
p0－33
又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
2＋24
3．(2015·贵阳监测)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p＝( ) A．2 C．6
B．4 D．8
2
解析：选B.∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，且圆心在抛物线上．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3， ∴＋＝3，p＝4，故选B.
24
4．抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线方程为( ) A．y＝6x C．y＝16x
22
2
ppB．y＝8x 152
D．y＝x
2
2
pp3p解析：选B.依题意，设M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝3p，
222
1p2
又△MFO的面积为43，所以××3p＝43，p＝4，所以抛物线方程为y＝8x，选择B.
225．已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y＝2px(p>0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置( ) A．在C1开口内 C．在C1开口外
B．在C1上 D．与p值有关
2
p?3p?p??－，m解析：选B.设B??，由已知有AB中点的横坐标为2，则A?2，m?，△ABF是边长|AB|?2???
＝2p的等边三角形，即|AF|＝
?3p－p?＋m2＝2p，∴p2＋m2＝4p2，∴m＝±3p，∴
?22???
2
?3p?A?，±3p?，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上，故选B. ?2
?
?1?2
6．若抛物线x＝ay过点A?1，?，则点A到此抛物线的焦点的距离为__________．
?4?
122
解析：由题意可知，点A在抛物线x＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x＝4y.由抛物线
4的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为
yA＋＝＋1＝.
441454
5答案：
4
7．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y＝4x. 答案：y＝4x
8．已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．
解析：由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2. 答案：2
9．已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 →→→ (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λ OB，求λ的值． 解析：(1)直线AB的方程是y＝22?x－?， ?2?与y＝2px联立，从而有4x－5px＋p＝0， 5p所以：x1＋x2＝， 4 由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4， 从而抛物线方程是y＝8x. (2)由p＝4，4x－5px＋p＝0可简化为x－5x＋4＝0， 从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42， 从而A(1，－22)，B(4，42)； → 设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y3＝8x3，即[22(2λ－1)]＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2. B级 能力突破 1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一→→ 点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4 FQ，则|QF|＝( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 ? p?7A. 2C．3 5B. 2D．2 →→ 解析：选C.利用FP＝4 FQ转化长度关系，再利用抛物线定义求解． →→→→∵FP＝4 FQ，∴|FP|＝4|FQ|， |PQ|3∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，|PF|4则|AF|＝4， |PQ||QQ′|3∴＝＝， |PF||AF|4 ∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C. 2．(2014·高考辽宁卷)已知点A(－2，3)在抛物线C：y＝2px的准线上，过点A的直线与 2 C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) 1234A. B. C. D. 2343 解析：选D.先确定切线的方程，再联立方程组求解． 抛物线y＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2，3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4， 22从而C：y＝8x，焦点为F(2，0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y＝8x得y－y＋2k8 2 2 2 ppk2 k1 ＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝. 82 1 因为切点在第一象限，所以k＝. 2 12 将k＝代入①中，得y＝8，再代入y＝8x中得x＝8， 284 所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为＝. 63 3．(2015·大连市高三双基测试)过抛物线y＝2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B、C→→ 两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，AF＝2 FB，则|BC|＝( ) 913 A. B．6 C. D．8 22解析：选A.不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0<θ< π ，点B(x1，y1)、C(x2，y2)，则点B2 2 |AF| 在x轴的上方．过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3， |AB| ＝ ppp212 ，由此得p＝2，抛物线方程是y＝4x，焦点F(1，0)，cos θ＝＝＝＝，sin |BB1||AF|663 2?y＝22（x－1）22sin θθ＝1－cosθ＝，tan θ＝＝22，直线l：y＝22(x－1)．由?2 3cos θ?y＝4x55922 得8(x－1)＝4x，即2x－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 222 →→→ 4．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F.△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0， 2 则 1 kABkBCkCA＋ 1 ＋1 ＝__________． ??则?x1－，y1?＋?x2－，y2?＋?x3－，y3?解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F?，0?，??????222?2??????? ＝(0，0)，故y1＋y2＋y3＝0. 122 （y2－y1） 1x2－x12py2＋y11y3＋y21y3＋y1∵＝＝＝，同理可知＝，＝，∴原式＝kABy2－y1y2－y12pkBC2pkCA2p2（y1＋y2＋y3） ＝0，故填0. 2p答案：0 ppppx2y2 5．(2014·高考山东卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线 abx2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线 的渐近线方程为__________． 解析：依据题意得到关于a，b的等式，进而得出双曲线的渐近线方程． 抛物线的准线y＝－，焦点F?0，?， 2?2? p? p? ?p?2 ∴a＋??＝c.① ?2? 2 2 设抛物线的准线y＝－交双曲线于M?x1，－?， 2?2? p? p?py＝－，??2p??N?x，－?两点，∴? 2??xy??a－b＝1， 2 22 22 x2 即2－＝1，解得x＝±aab2∴2a?－p? ?2??? 2 p2 2＋1， 4bp2 2＋1＝2c.② 4b