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天津大学《最优化方法》复习题（含答案）
第一章 概述(包括凸规划)
一、 判断与填空题
1 2
?nn?3 设f:D?R?R. 若x?R，对于一切x?R恒有f(x)?f(x)，则称x为
n?argmaxx?Rnf(x)?argmin[?f(x)]. √
x?Rnmaxf(x):x?D?Rn??minf(x):x?D?Rn. ?
????最优化问题
minx?Df(x)的全局最优解. ?
?n??4 设f:D?R?R. 若x?D，存在x的某邻域N?(x)，使得对一切
x?N?(x?)恒有f(x?)?f(x)，则称x?为最优化问题minf(x)的严格局部最
x?D优解. ?
5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √
6 非空集合D?R为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D. √ 7 非空集合D?R为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D. √
8 任意两个凸集的并集为凸集. ?
9 函数f:D?R?R为凸集D上的凸函数当且仅当?f为D上的凹函数. √
?10 设f:D?R?R为凸集D上的可微凸函数，x?D. 则对?x?D，有
nnnnf(x)?f(x?)??f(x?)T(x?x?). ?
11 若c(x)是凹函数，则D?{x?R c(x)?0}是凸集。 √ 12 设xn??为由求解minkf(x)的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，
x?D则对?k??0,1,2,??，恒有 f(xk?1)?f(xk) .
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13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √
k15 函数f:D?R?R在点x沿着迭代方向d?R\\{0}进行精确一维线搜索的
nkn步长?k，则其搜索公式为 .
k16 函数f:D?R?R在点x沿着迭代方向d?R\\{0}进行精确一维线搜索的
kkTk步长?k，则?f(x??kd)d? 0 .
nkn
17 设d?R\\{0}为点x?D?R处关于区域D的一个下降方向，则对于
knkn???0，???(0,?)使得xk??dk?D. ?
二、 简述题
1 写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。
2 怎样判断一个函数是否为凸函数.
2?10x1?5x2是否为凸函数） （例如: 判断函数f(x)?x12?2x1x2?2x2
三、 证明题
1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如
minf(x)?1TxGx?cTx?b2判断s.t. Ax?b x?0（其中G是正定矩阵）是凸规划.
2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.
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第二章 线性规划
考虑线性规划问题：
(LP)mincTxs.t.Ax?b,x?0,
其中，c?Rn,
A?Rm?n,b?Rm 为给定的数据，且rankA?m,m?n.
一、 判断与选择题
1 (LP)的基解个数是有限的. √
2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √
3 (LP)的解集是凸的. √
4 对于标准型的(LP)，设?xk?由单纯形算法产生，则对k??0,1,2,??，有
cTxk?cTxk?1. ×
5 若x* 为(LP)的最优解，y* 为(DP)的可行解，则cTx*?bTy*. √
6 设x0是线性规划(LP)对应的基B?(P1,?,Pm)的基可行解，与基变量
x1,?,xm对应的规范式中，若存在?k?0，则线性规划(LP)没有最优解。×
7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________.
8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. ×
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