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匀变速直线运动的位移与时间的关系 自由落体运动
一. 教学内容：
第三节 匀变速直线运动的位移与时间的关系 第四节 自由落体运动
学习目标：
1. 理解位移和时间关系式的推导过程。 2. 掌握位移和时间关系式的基本应用。 3. 会利用图象分析匀变速直线运动。
4. 认识什么是自由落体运动，知道它是初速度为零的匀加速直线运动。
5. 认识什么是自由落体运动的加速度，知道它的方向。知道在地球的不同地方，重力加速度大小不同。
6. 能运用自由落体运动的公式进行计算和分析。
知识要点：
一、匀速直线运动的位移 1. 公式：x?vt。
2. 公式的位移对应着v?t图象中矩形的面积。
二、匀变速直线运动的位移
1v0t?at221. 公式：x?。
①位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系。式中的v0是初速度，时间t应
是物体实际运动的时间。
②在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值；计算的结果x>0，说明位移的方向与初速度方向相同，x<0，说明位移的方向与初速度方向相反。
③对于初速度为零（v0?0）的匀变速直线运动，位移公式为
11x?vt?at222。
即位移x与时间t的二次方成正比。 2. 利用匀变速v?t图象求位移大小
图象与横轴t所围面积的数值，等于物体在该段时间内的位移。
22v?v?2ax 0三、匀变速直线运动的位移和速度的关系：
2对于初速为零的匀变速直线运动（v0?0），速度与位移的关系简化为：v?2ax。
四、匀变速直线运动的平均速度公式
v?v0?v2。
由于匀变速直线运动的速度是均匀改变的，所以它在时间t内的平均速度v就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即
注意：
v?v0?v2。
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1. 此式只适用于匀变速直线运动（加速度恒定不变的运动），不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都是适用的，但对非匀变速直线运动是不适用的，对于加速度变化的非匀变速直线运动的平均速度只能用定义
v?xt来计算。
2. 式中的“v0?v”是矢量和，不是代数和，若v0和v在一条直线上，可以通过规定正方向，把矢量运算转化为代数运算。
3. 引入平均速度的物理意义是：可以把原来的变速运动看成是以平均速度运动的匀速运动。
五、匀变速直线运动规律的图象说明
匀变速直线运动速度图象：速度——时间图象是一条与时间轴倾斜相交的直线。由速度——时间图象可得：
0?a t ① v?v2
x?v0t?at2 ②
v?(v?v0)2 ③
以上三式均可由下图所示的速度——时间图象中求出。
1. 对于①式，图中的v等于v0加上在时间t内增加的速度?v?atv?at，所以
v?v0??v?v0?at。
2. 对于②式，位移x就是图象与时间轴所围的面积，该梯形面积等于图中矩形v0Otb面积（v0t）
2）之和，故2。 和三角形av0b的面积（
3. 对于③式，则由图可得其平均速度就是梯形的中位线。
六、三个基本公式的选择
at2x?v0t?at212x?vt?at220v?v?atv?v0?2ax中包含五个物理量，它们分别为：初速度02公式，，v0和加速度a，运动时间t，位移x和末速度v，在解题过程中选用公式的基本方法为：首先在
仔细审题的基础上，正确判断物体的运动性质，或它在各个阶段的运动性质，根据物体的运动性
质选用相应的公式，例如对于初速度为零的匀加速直线运动可以选用推论；对于末速度为零的匀减速直线运动，可以逆向思考处理，即把它看作反方向的初速度为零的匀加速直线运动，当然，也可以用推论。其次，注意每个公式的特点，它反映了哪些物理量之间的函数关系，而与哪些物
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理量无直接关系。例如公式v?v0?2ax不涉及时间，
222x?v?t?v0?tt2不涉及加速度，
22v?v?2ax求解0?x?aT不涉及速度……，所以如果题目的已知条件缺时间，一般选用公式
v?vx?0?t2较简捷，同样，题目条件缺加速度，则选用公式求解较好；题目条件缺速度，则选
用公式?x?aT解题较方便，注：匀变速运动中的各公式均是矢量式，注意各矢量的符号。最
后，在练习中加强对解题规律的总结，在初学阶段，对一道题不妨多用几种解法试一试，并比较各种解法的优劣，想一想这个题有什么特点，为什么选用这几个公式解题最简便，多做这种训练，灵活应用公式解决实际问题的能力必定会提高。
［例题分析］
例1. 汽车以l0m／s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2s速度变为6m／s，求： （1）刹车后2s内前进的距离及刹车过程中的加速度； （2）刹车后前进9m所用的时间； （3）刹车后8s内前进的距离。
解析：（1）汽车刹车后做匀减速直线运动，由
2a?v?v0t可求得。a??2m/s2，再由
x?v0t?12at2，可求得x?16m。
1x?v0t?at222（2）由可得9?10t?t
解得t1?1s，t2?9s。
要注意汽车刹车后经
（3）由（2）可知汽车经5s停下，可见在8s时间内，汽车有3s静止不动，因此
t0?v010?s?5s?a2停下，故时间应为1s。
例2. 证明
（1）在匀变速直线运动中连续相等时间（T）内的位移之差等于一个恒量。
11x?v0t?at2?10?5????2??52?25m22
1xn?v0T?aT22证明： 1xn?1?(v0?aT)T?aT22
22 所以?x?xn?1?xn?aT（即aT为恒量）
由此结论可用来求匀变速直线运动的加速度，即
2. 在匀变速直线运动中，某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
a??xT2