河北科技师范学院教案 编号 18 学年度 第 学期
系 （部） 数 理 系 教研室 数 学 任课教师 课程名称 线性代数
授课章节：第五章二次型 第三节 用正交变换化二次型为标准形 授课班级 授课日期 课 题 教学目的 及 要 求 教学重点 难 点 教法、教具 第三节 用正交变换化二次型为标准形 时 数 2 使学生了解对称矩阵的有关结论，及化二次型为标准形的正交变换法。 对称矩阵的有关结论 用正交变换化二次型为标准形 用正交变换化二次型为标准形 讲授法 课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等） 时间分配 （一） 回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 （二） 引入新课。 第五章 第三节 用正交变换化二次型为标准形 5.3.2 化二次型为标准形的正交变换的存在性 对于给定的二次型f?xTAx，希望通过正交变换x?Qy，将二次型f化成标准形。用矩阵的语言表述，就是寻找n阶正交矩阵Q，使得QTAQ??，其中?为对角阵。 由于Q是正交矩阵，所以QT?Q?1，上式为Q?1AQ??。 上式表明：正交矩阵是合同矩阵，因此正交变换又是相似的变换。由于相似矩阵具有相同的特征值，所以如果存在正交矩阵Q，使得A相似于对角阵?，则?的对角元一定是A的特征值。 定理5.7 实对称矩阵的特征值都是实数，其特征向量可以取为实向量。 定理5.8 对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的。 定理5.9 若A为n阶对称阵，?是A的r重特征值，则R(A??E)?n?r，从而对应 A的特征值?恰有r个线性无关的特征向量。 定5.10 设A为n阶对称阵，如果?i为特征方程?iE?A?0的ni重根（i?j时，?1?i??j；i?1,2,?,s,n1?n2???ns?n），则必存在正交阵P使PAP??，其中对角阵?对角线上的元素?1,?,?n为A的n个特征值。 5.3.3 用正交变换化二次型为标准形的步骤 （1）求解特征方程的特征根，由定理5.7知，都是实数?1,?2,?,?s。 （2）对于ni重特征根?i，求齐次方程(?iE?A)x?0的基础解系，得到ni个线性无关的特征 向量?i1,?i1,?,?ini，再将其标准正交化得?i1,?i1,?,?ini （3）将上面得到的标准正交向量组合并为一个向量组，由定理5.9 保证了合并之后的向量组包含n个向量，同一特征值所对应的特征向量已经标准正交化，而不同特征值对应的特征??1En1??向量是正交的，因此得到正交矩阵P，使得PTAP?????????。 ???sEns???2En2由上面的分析得知： 总存在正交变换x?Py，使二次型化为标准型????f(x)=g(y)??1y12????nyn2，其中?1,?,?n是f的阵A的特征值。 222例1 用正交变换化二次型f（x1，x2，x3）?3x1?8x1x3?6x2?3x3?4x1x2?4x2x3化成标准形。 ?3?2?4???解 先写出二次型的矩阵A???26?2? ??4?23?????3（1）计算特征值?E?A?242?0，得A的特征根?1??2,?2??3?7 24??62??3（2）求特征值所对应的特征向量并将其正交化 对?1??2，解齐次线性方程组(?2E?A)x?0，得x?(2,1,2)T，并将其单位化得?1?(,,)T212333，同理可求?2??3?7对应的正交向量组为?2?15,?25,0)T,?3?(?4353535,?2,5)T，二次型的标准形为f??2y12?7y22?7y32。 （三） 总结本次课所讲主要内容 （四） 布置作业 作 业 作业 P152：Ex10。 参考文献 参考文献 同前 课后 小结 教研室主任（签字）：