1、 附图所示，在一个绝缘不带电的导体球的周围作一同心高斯面S。试定性地回答，在将一
正点荷q移至导体表面的过程中， S （1） A点的场强大小和方向怎样变化？ （2） B点的场强大小和方向怎样变化？ （3） 通过S面的电通量如何变化？
答：由于电荷q的作用，导体上靠近A点的球面感应电荷-q′，远离A点的球面感应等量的+q′,其分布与过电荷q所在点和球心O的联线成轴对称，故±q′在A、B两点的场强E′沿AOB方向。
（1） E=E0+E′，q移到A点前，E0和E′同向，随着q的移近不断增大，总场强EA
也不断增大。q移过A点后，E0反向，且E0> E′，EA方向与前相反。随着q的远离A点，E0不断减小，±q′和E′增大，但因E′始终小于E0，所以EA不断减小。 （2） 由于q及±q′在B点的场强始终同向，且随着q移近导体球，二者都增大，所
以EB不断增大。 （3） q在S面外时，面内电荷代数和为零，故Φ=0；q在S面内时，Φ=q/ε0；当q在
S面上时，它已不能视为点电荷，因高斯面是无厚度的几何面，而实际电荷总有一定大小，此时Φ=△q/ε0，△q为带电体处于S面内的那部分电量。 2、 有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上，在此气球被吹大的过程中，下列各处的
场强怎样变化？
（1） 始终在气球内部的点；（2）始终在气球外部的点；（3）被气球表面掠过的点。 答：气球在膨胀过程中，电荷始终均匀分布在球面上，即电荷成球对称分布，故场强分
布也呈球对称。由高斯定理可知： 始终在气球内部的点，E=0，且不发生变化；
始终在气球外的点，场强相当于点电荷的场强，也不发生变化；
被气球表面掠过的点，当它们位于面外时，相当于点电荷的场强；当位于面内时，E=0，所以场强发生跃变。
3、 求均匀带正电的无限大平面薄板的场强时，高斯面为什么取成两底面与带电面平行且对称
的柱体的形状？具体地说，
（1） 为什么柱体的两底面要对于带电面对称？不对称行不行？ （2） 柱体底面是否需要是圆的？面积取多大合适？ （3） 为了求距带电平面为x处的场强，柱面应取多长？
答：（1）对称性分析可知，两侧距带电面等远的点，场强大小相等，方向与带电面垂直。
只有当高斯面的两底面对带电面对称时，才有E1=E2=E，从而求得E。如果两底在不对称，由于不知E1和E2的关系，不能求出场强。若已先证明场强处处相等，就不必要求两底面对称。
q A 导体球 B + 11
（2） 底面积在运算中被消去，所以不一定要求柱体底面是圆，面积大小也任意。 （3） 求距带电面x处的场强时，柱面的每一底应距带电面为x，柱体长为2x。同样，若已先证明场强处处相等，则柱面的长度可任取。
17、 求一对带等量异号或等量同号电荷的无限大平行平面板之间的场强时，能否只取一
个高斯面？
答：如果先用高斯定理求出单个无限大均匀带电平面的场强，再利用叠加原理，可以得到两个无限大均匀带电平面间的场强。在这样的计算过程中，只取了一个高斯面。 18、
已知一高斯面上场强处处为零，在它所包围的空间内任一点都没有电荷吗？
答：不一定。高斯面上E=0，S内电荷的代数和为零，有两种可能：一是面内无电荷，如高斯面取在带电导体内部；二是面内有电荷，只是正负电荷的电量相等，如导体空腔内有电荷q时，将高斯面取在导体中，S包围导体内表面的情况。 19、
要是库仑定律中的指数不恰好是2（譬如为3），高斯定理是否还成立？
4??0r?? 穿过以q为中心的球面上的电通量为 ??E?dS?q，此时通量不仅与面内电荷
??S?0r?有关，还与球面半径有关，高斯定理不再成立。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题：
１、 设一半径为５厘米的圆形平面，放在场强为３００Ｎ／Ｃ的匀强电场中，试计算平面法
００
线与场强的夹角θ取下列数值时通过此平面的电通量。（１）θ＝０；（２）θ＝３０；
０００
（３）θ＝９０；（４）θ＝１２０；（５）θ＝１８０。
答：不成立。设库仑定律中指数为2+δ，E?1q
2????????E?dS???Ecos?dSSS解： ?1?0.75?N?m2/C2,?2?0.3753?;N?m2/C2,?3?0
.?4??0.375?;N?m2/C2?5??0.75?;N?m2/C2２、 均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。
解：通过半球面的电通量与通过半球面在
垂直于场强方向上的投影面积的电通量相等。 ????S??E?dS??E??ds???a2E
S３、 如附图所示，在半径为Ｒ１和Ｒ２的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Ｑ１和Ｑ２，
求：
（１）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布；
（２）若Ｑ１＝－Ｑ２，情况如何？画出此情形的Ｅ－r曲线。
Q2 Q1 R1 O 12
R2
解：（１）应用高斯定理可求得三个区域内的场强为
???Q1rE－r曲线E1?0(r 34??0r?Q?Q2?Ｅ E3?1r ( r> R2) 34??0r? ( 2 ) 若Ｑ１＝－Ｑ２，E1=E3=0, E2??Q1r 4??0r3r R1 R2 E－r曲线如图所示。 ４、 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电子qe的原子核（可以看成是点电荷），外面是带 负电的电子云。在正常状态（核外电子处在Ｓ态）下，电子云的电荷密度分布是球对称的： ?e?r???qe?2r/a0 式中a0为一常数（它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道e3?a0的半径，称为玻尔半径）。求原子内电场的分布。 解：电子云是球对称分布，核外电子的总电荷量为 qQ?????dV??e3V?a0??0e?2r/a04q?4?rdr??3ea02??0r2e?2r/a0dr??4qe2??qe 33a0?2/a0? 可见核外电荷的总电荷量等于电子的电荷量。 应用高斯定理：核外电荷产生的场强为 ??qe2E?dS?E?4?r??3??S??0a0?r0e?2ra0?4?r2dr2r2r??r4qe?1??ar2ea0?area0dr ??00?3?0?0a0?2?qr2r??(22?2?1)ea0?e?0a0a0?0? qe2r 原子核与核外电荷产生的总场强为 E总?E核?E外 2rq??221??a01?q??????e????22?a2arr2?4??0r24??0?r4??r?000????q?2r22r??a0 ??a2?a?1??e0?0?2r５、 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，Ｅ垂直于地面向下，大小约为１００Ｎ／Ｃ； 在离地面1.5千米高的地方，Ｅ也是垂直地面向下的，大小约为２５Ｎ／Ｃ。 （１） 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均密度； （２） 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。 解：（１）以地心为心作球形高斯面，恰好包住地面，由对称性和高斯定理得 13 ??Q12E?dS?Ecos?dS?E?4?R?(Q1是S1包围电荷代数和)111????SS?0再以R?h为半径作同心球面 ??Q22E?dS?Ecos?dS?E?4?(R?h)?(Q2是S2包围电荷代数和)2??2??2S 相减4?R2(E1?E2)?h(2R?h)E2?(Q2?Q1)/?0Q2?Q1?4??0R2(E1?E2)???Q2?Q1?0(E1?E2)??4.4?10?13(C/m3)2h4?Rh?S??0（２） 以地球表面作高斯面 ??12E?dS?Ecos?dS??E?4?R?1??1??1SS?0???dS?S1?0?4?R2 ???0E??8.85?10?10C/m2６、 半径为Ｒ的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为λ.求场强分布，并画 出E－r曲线。 解：应用高斯定理，求得场强分布为 Ｅ＝０ r Ｅ ?E???r r>R 2??0r2r R E－r曲线如图所示。 ７、 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为Ｒ１和Ｒ２，筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度 的电量分别为λ１和λ２， （１） 求各区域内的场强分布； （２） 若λ１＝－λ２，情况如何？画出此情形的E－r曲线。 解：（１）由高斯定理，求得场强分布为 r R1 ?E2?Ｅ ??r 2??0r2R1 R2 r r> R2 （２）若λ １ ????2?E3?1r 2??0r2２ ＝－λ，Ｅ１＝Ｅ３＝０，Ｅ２不变。此情形的E－r曲线如图所示。 ８、 半径为Ｒ的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度为ρ，求场强分布，并画出Ｅ— r曲线。 14 解：应用高斯定理，求得场强分布为 ???r 圆柱体内 E1?2?0Ｅ ??R2?圆柱体外 E2?r 22?0rE－r曲线如图所示 r R ９、 设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示 ??r???1??r/a???022 ， 式中r是到轴线的距离，ρ０是轴线上的密度值，a是常数，求场强的分布。 解：应用高斯定理，作同轴圆柱形闭合柱面为高斯面。 ??1E?dS?2?rLE???S?0?V??r?dV?2?L?0?V1??r/a?21??0?2dV ?1?0?V?1??r/a???0222?rLdr??0r2?r?2(1???)2?a?2?0a2?0rE?2?0(a2?r2)Ｅ方向沿矢径r方向。 １０、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为±σ，求各区域的场强分布。 解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为 ??? E?n2?0根据场强的叠加原理，各区域场强分别为 E1 σ n E2 －σ ??????E1?(?n)?(?n)?02?02?0???????? En?(?n)?n2?2?02?0?0??????E3?n?n?02?02?0E3 可见两面外电场强度为零，两面间电场是均匀电场。平行板电容器充电后，略去边缘效应，其电场就是这样的分布。 １１、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是σ，求各区域的场强分布。 ??? 解：与上题同理，无限大均匀带电平面所产生的电场强度为E?n2?0应用场强叠加原理，场强在各区域的分布为 15