§4 简单计数问题
A组
1.设集合A={0,2,4},B={1,3,5},分别从A,B中任取2个元素组成无重复数字的四位数,其中能被5整除的数共有( )
A.24个 C.64个
B.48个 D.116个
=12;(2)只含5不含0的有:
=12;(3)含有0和5的有:①当
解析:只含0不含5的有:0在个位时,有答案:C
=24;②当5在个位时,有=16.共有12+12+24+16=64个.
2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 C.72
B.120 D.24
解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在4个位置,共有
=24种放法,故选D.
答案:D
3.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( ) A.24对 C.48对 答案:C
4.将A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有 A.12种 C.40种
( ) B.20种 D.60种
,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C
B.30对 D.60对
解析:(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为
或C,B,A),故除以这三个元素的全排列答案:C
再乘以2,可得×2=40.
5.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为( ) A.24 C.36
B.28 D.48
解析:穿红色衣服的人相邻的排法有红色、黄色同时相邻的有种. 答案:D
=48种,同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种.而
-2×48+24=48
=24种.故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有
6.某校准备参加2017年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有 种.
解析:原问题等价于把10个相同的小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球排成一排,从中间9个间隙中选出7个截成8段(有到8个盒子里,有36种放法.
因此,不同的分配方案共有36种. 答案:36
7.(2016·山东潍坊高二检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为 .(用数字作答)
解析:第一步:将两位爸爸排在两端有2种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2×2×=24(种). 答案:24
8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 种(用数字作答).
解析:不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有三人各获得一张奖券,共有
=24种.
=36种;二是有
种排法;第三步:将两个小孩排序有2种排法.故总的排法有
=36种截法),对应放
因此不同的获奖情况有36+24=60种. 答案:60
9.导学号43944014某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种? (4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种? (5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种? 解(1)从余下的34种商品中,选取2种,有
=561(种),
故某一种不合格商品必须在内的不同取法有561种. (2)从34种可选商品中,选取3种,有
种或者
=5 984(种).
故某一种不合格商品不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种合格商品中选取1件,从15种不合格商品中选取2件有故恰有2种不合格商品在内的不同的取法有2 100种. (4)选取2件不合格商品有
=2 100+455=2 555(种).
故至少有2种不合格商品在内的不同的取法有2 555种. (5)任意选取3件的总数有090(种).
故至多有2种不合格商品在内的不同的取法有6 090种.
种,因此共有选取方式
=6 545-455=6
种,选取3件不合格商品有
种,共有选取方式
=2 100(种).
B组
1.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 C.72
B.120 D.24
解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为=24.故选D. 答案:D
2.(2016·广东惠州市统考)任取三个互不相等的正整数,其和小于100,则由这三个数构成的不同的等差数列共有( ) A.528个 C.1 584个
B.1 056个 D.4 851个
解析:先确定等差数列的中间项,再确定第一、三项.
设这三个成等差数列的数分别为a,b,c.
由题意得a+b+c≤100,即3b≤100,得b可以取2,3,…,33,共32个数. 第一类,b=2时,a,c的取值共有2个(a=1,c=3和a=3,c=1,对应的是两个数列); 第二类,b=3时,a,c的取值共有4个; …
第三十二类,b=33时,a,c的取值共有64个.
根据分类加法计数原理,可得满足题意的数列共有2+4+…+64=1 056个. 答案:B