配套K12新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题六 自选模块 第2讲 计数原理 理

小学+初中+高中+努力=大学

第2讲 计数原理

1.(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( ) A.144个 C.96个

2

5

B.120个 D.72个

52

2.(2015·课标全国Ⅰ)(x+x+y)的展开式中,xy的系数为( ) A.10 C.30

B.20 D.60

3.(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余

5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).

4.(2014·课标全国Ⅱ)(x+a)的展开式中,x的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)

1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题,以小题形式考查;2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识,近几年也与函数、不等式、数列交汇,值得关注.

10

7

热点一 两个计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘. 例1 (1)如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( ) A.72种 C.24种

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B.48种 D.12种

小学+初中+高中+努力=大学

(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1

B.204 D.920

思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理.

(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.

跟踪演练1 (1)(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60种 C.75种

2

B.70种 D.150种

(2)已知函数f(x)=ln(x+1)的值域为{0,1,2},则满足这样条件的函数的个数为( ) A.8 B.9 C.26 D.27 热点二 排列与组合

名称 相同点 排列 组合 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复 ①排列与顺序有关; ①组合与顺序无关; ②两个排列相同,当且仅当这不同点 两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ②两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同 例2 (1)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 C.144

B.120 D.168

(2)数列{an}共有12项,其中a1=0,a5=2,a12=5,且|ak+1-ak|=1,k=1,2,3,…,11,则满足这种条件的不同数列的个数为( ) A.84 C.76

B.168 D.152

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思维升华 解排列、组合的应用题,通常有以下途径:

(1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.

(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数. 跟踪演练2 (1)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36种 C.48种

B.42种 D.54种

(2)要从3名骨科和5名内科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答). 热点三 二项式定理 (a+b)=Cna+Cnan0n1n-1

n-rrnrb+…+Crb+…+Cn其中各项的系数就是组合数Cn(r=0,1,…,nanb,

rn-rrn)叫做二项式系数;展开式中共有n+1项,其中第r+1项Tr+1=Cnab(其中0≤r≤n,r∈N,

n∈N*)称为二项展开式的通项公式.

例3 (1)(2015·陕西)二项式(x+1)(n∈N)的展开式中x的系数为15,则n等于( ) A.4 C.6

8

4

n*2

B.5 D.7

(2)(2-x)的展开式中,不含x的项的系数的和为( ) A.-1 C.1

B.0 D.2

思维升华 (1)在应用通项公式时,要注意以下几点:

①它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定; ②Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项;

③公式中,a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置; ④对二项式(a-b)展开式的通项公式要特别注意符号问题.

(2)在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法.

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跟踪演练3 (1)(2014·湖北)若二项式(2x+)的展开式中3的系数是84,则实数a等于

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