01.量子力学基础知识
【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol为单位的能量。
-1
2.998?108m?s?1????4.469?1014s?1?670.8m解： 11????1.491?104cm?1?7?670.8?10cm
?3414?1E?h?NA?6.626?10J?s?4.469?10sc
【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下：
312.5 波长λ/nm
?6.6023?1023mol-1 ?178.4kJ?mol-1
365.0
404.7
546.1
3.41 2.56 1.95 0.75 光电子最大动能Ek/10-19J
作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。
解：将各照射光波长换算成频率v,并将各频率与对应的光电子的最大动能Ek列于下表：
312.5 365.0 404.7 546.1 λ/nm
v/1014s－1
－
9.59 8.21 2.56
7.41 1.95
5.49 0.75
3.41 Ek/1019J
由表中数据作图，示于图1.2中
4Ek /10J-19 321045678914-1??10g图
10
图1.2 金属的
Ek??由式 推知
hv?hv0?Ek h?Ek?Ek?v?v0?v
即Planck常数等于Ek?v图的斜率。选取两合适点，将Ek和v值带入上式，即可求出h。
2.70?1.05??10?19J?34h??6.60?10J14?1?8.50?600??10s例如：
s
14?1图中直线与横坐标的交点所代表的v即金属的临界频率v0，由图可知，v0?4.36?10s。
因此，金属钠的脱出功为：
W?hv0?6.60?10?34Js?4.36?1014s?1
?2.88?10?19J-14-1
【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10s，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？
1hv?hv0?mv22解：
?2h?v?v0??????m??12??34?2?6.626?10J??????34??2.998?10ms14?1?s??5.464?10s???9?300?10m???9.109?10?31kg??
8?112
?2?6.626?10Js?4.529?10s????9.109?10?31kg???8.12?105ms?1
14?112【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃；
-1
（b） 动能为0.1eV的中子； （c） 动能为300eV的自由电子。
解：根据关系式：
h6.626?10?34J?s?22????10?6.626?10m?1mv10kg?0.01m?s(1) hh (2)???p2mT?6.626?10?34J?s2?1.675?10?27kg?0.1eV?1.602?10?19J??eV??1 ?9.403?10-11mhh(3) ???p2meV
?6.626?10?34J?s2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?300V
?7.08?10?11m【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。
解：根据de Broglie关系式：
???hhh??pm?2meV6.626?10?34Js2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?2?105V
【1.6】对一个运动速度??2.742?10?12mc（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：
①②h③h?④E⑤1mv?p????mv?vv2
结果得出
m??1m?2的结论。上述推导错在何处？请说明理由。
E?hvp?h/?
解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：
式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：
p?m?
知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式：
??u/v
式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了??u/v，显然是错的。
在④中，E?hv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。
【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s）、作布郎
-1
-1
运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000 m·s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？
解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：
h6.26?10?34J?s?34?x???6.63?10m?1m??v0.01kg?1000?10%m?s子弹： h6.626?10?34J?s?x???9?6.63?10?25m?1m??v10kg?10?10%m?s尘埃：
h6.626?10?34J?s?x???13?6.63?10?20m?1m??v10kg?1?10%m?s花粉：
h6.626?10?34J?s?6?x???7.27?10m?31?1m??v9.109?10kg?1000?10%m?s电子：
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度??为?的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：
x??hm??hm2eV/m?10%6.626?10?34Js?10
2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?103V?3.88?10?10m这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
?6【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10m）观察不到电子衍射（用100000V电
压加速电子）。
解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：
hh1??1.226?10?9mpxh/?V1?1.226?10?9m10000?1.226?10?11m x?这不确定度约为光学光栅周期的10学光栅周期的10
－5
－5
倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光
倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
－
解法二：若电子位置的不确定度为106m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：
在104V的加速电压下，电子的动量为：
h6.626?10?34Js?px???x10?6m?6.626?10?28Jsm?1
px?m?x?2meV?2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?104V由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
?5.402?10?23Jsm?1
??arcsin??arcsin?pxpx?6.626?10?28Jsm?1?arcsin??23?1??5.402?10Jsm?arcsin10?5?0o衍射。
【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子
dd2x,,2,log,sin,dxdx,i解：由线性算符的定义：
ddx
????)?A???A??A(ijij
dd2dx,,2idxdx为线性算符;而dx为线性自轭算符.
?d222??4ax??2?ax2dx?的本征函数，求其本征值。 【1.11】??xe是算符?解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：
?d2?d222?22??ax2?4ax???4axxe?2??2?dxdx???? 222d?2xe?ax?4a2x2xe?axdx
22d?ax2?e?2ax2e?ax?4a2x3e?axdx??????2axe?ax?4axe?ax?4a2x3e?ax?4a2x3e?ax
2??6axe?ax
因此，本征值为?6a。
2222??6a?d22【1.12】下列函数中，哪几个是算符dx的本征函数？若是，求出本征值。
x3e,sinx,2cosx,x,sinx?cosx
d2d2x? ex22dx解：，e是dx的本征函数，本征值为1。
d2d2sinx?1?sinx,2sinx是dx2的本征函数，本征值为1。 dxd2(2cosx)?2cosxdx2