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向量三点共线定理及其扩展应用详解
一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用
一、问题的提出及证明。
1、向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：
OA?xOB?yOC.（O为平面内任意一点），其中x?y?1。
那么x?y?1、x?y?1时分别有什么结证？并给予证明。 结论扩展如下：1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则 当x?y?1时 A与O点在直线BC同侧，x?y?1时， A与O点在直线BC的异侧，证明如下： 设 OA?xOB?yOC
且 A与B、C不共线，延长OA与直线BC交于A1点 设 OA1??OA（?≠0、?≠1）A1与B、C共线 则 存在两个不全为零的实数m、n
OA?mOB?nOC 且m?n?1 则 ?OA?mOB?nOC
1?OA??x? x?y?m?mOB?n?OC n?、y??
m?n??1?（1）??1 则 x?y?1 则 OA?A1
C
B
A 图[1]
1?OA?OA
11?A与O点在直线BC的同侧（如图[1]） O
1（2）??0,则x?y??0?1，此时OA与OA1反向
? A与O在直线BC的同侧（如图[2]） 1
A
B
C
O
A
Word格式
图[2]
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（3）o???1，则x?y?1
1 此时 OA?OA1?OA1
A
B
C
A1
?? A与O在直线BC的异侧（如图[3]）
O
图[3]
2、如图[4]过O作直线平行AB，
延长BO、AO、将AB的O侧区
域划分为6个部分，并设OP?xOA?yOB, 则点P落在各区域时，x、y满足的条件是：
B
A
Ⅱ Ⅰ Ⅲ Ⅵ
O Ⅳ
Ⅴ
图[4]
?x?0?x?0?x?0???（Ⅰ）区：?y?0 （Ⅱ）区：?y?0 （Ⅲ）区：?y?0
?0?x?y?1?0?x?y?1?0?x?y?1????x?0?x?0?x?0??（Ⅳ）区：?y?0 （Ⅴ）区：? （Ⅵ）区：?y?0
?y?0??1?x?y?1??1?x?y?0??（证明略）
二、用扩展定理解高考题。
（1）[2006年湖南（文）10] 如图[5] OMAB，点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP?xOA?yOB，则实数对（x、y）
可以是……（ ） 13221317 A.（，） B.（?，） C.（?，） D.（?，）
44334455 解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则 x?0，且O?x?y?1，则选C
（2）[2006年湖南（理）15] 如图[5]OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP?xOA?yOB，则x的取值
1范围是 。当x??时，y的取值范围是 。
2 解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：
1113 x?0，且当x??，有：O?x?y?1，即O???y?1??y?
222213B 答案为：x?0，（，） P 22M
图[5]
O
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A
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二、向量共线定理的几个推论及其应用
人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b与非零向量a共线?有且仅有一个实数?，使b=?a。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。
一、定理的推论
推论一：向量b与向量a共线?存在不全为0的实数?1,?2，使?1a??2b?0，这实质是定理的另外一种表述形式。
推论二：三个不同点A、B、C共线?存在一组全不为0的实数?1,?2，使?1AB??2AC?0。 注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中AB,AC均不为零向量，而推论（一）中，向量a,b可能含O。
推论三: 设O、A、B三点不共线，且OP?xOA?yOB，（x，y∈R），则P、A、B三点共线?x+y=1。 这实质是直线方程的向量形式。
推论四: 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C共线?存在一组全不为0的实数?1,?2,?3使?1OA??2OB??3OC?O且?1??2??3=0
证：① 当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；
② 当O点与A、B、C三点均不重合，则三点A、B、C共线?存在s，t∈R，且s·t≠0，使得sAB?tAC?O，此时，s≠-t，否则AB?AC，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：
s(OB?OA)?t(OC?OA)?O，即：s?OB?tOC?(s?t)OA?O。显然s+t+[-(s+t)]=0
令?(s?t)??1?0,s??2?0,t??3?0,故?1??2??3?0得证。
推论五： 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线?若存在实数?1,?2,?3，使
?1OA??2OB??3OC?O且?1??2??3?0则?1??2??3=0。
推论五实质是推论四的逆否命题。
推论六：点P在ΔABO的内部（不含边界）?存在正实数?1,?2，使得OP??1OA??2OB， 且?1??2?1。
证：：如图，必要性：若点P在ΔABO的内部（不含边界），则
P1 B A P N1 N
M1 M O
OP??1OA??2OB，延长OP交AB于P1，过P作OA、OB的平行线，分别交
OA，OB于M，N点，过P1作OA，OB的平行线，分别交OA，OB于M1，N1点，显然
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