有限元分析教案
a2?1ui1uj1um1xi1xj1xmyiyjymyiyjym?1?yj?ym?ui??ym?yi?uj??yi?y?um 2A?? ?1biui?bjuj?bmum 2A??1xiuiujumyiyjym?1?xm?xj?ui??xi?xm?uj??xi?xi?um 2A1xja2?1xm1xi1xj1xm?? ?同理得
1ciui?cjuj?cmum 2A??1aiui?ajuj?amum 2A1a5?biui?bjuj?bmum
2A1a6?ciui?cjuj?cmum
2Aa4???????ai?xjym?xmyj??bi?yj?ym? ci??xj?xm??i,j,m顺序轮换，A是三角形的面积
??在单元节点的顺序号i,j,m必须是按逆时针排列，否则系数行列式是负值，而三角形的面积为负值，是不合理的。
求得的6个系数可以用以下矩阵表示：
?ai?b?i?a1???1?ci?????2A?0?a??6??0???0000aibiciajbjcj000000ajbjcjambmcm0000??ui??v?0???i?0???uj????? am??vj?bm??um????cm??vm????二，形函数
将所求得的6个待定系数代入位移模式表达式中：
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?a1??u?1?1xy000???????????????v0001xy2A?????a??6??ai0aj0am0??ui??b0b0b???0ijm???vi?1?1xy000??ci0cj0cm0???uj?????????2A?0001xy??0ai0aj0am??vj??0bi0bj0bm??um?????0c0c0c?ijm??vm??????ui??v??i?0ai?bix?ciy0ai?bix?ciy0??1?a?bx?ciy?uj????ii?? ?0ai?bix?ciy0ai?bix?ciy0ai?bix?ciy??vj?2A??um?????vm??1?ai?bix?ciy? 令Ni?2A?Ni????就有??00NiNj00Nji,j,m顺序轮换
??Nm0?u??ui?0??i????????N???? ?Nm????v??vm??m?上式就是假定位移模式下导出的单元内任一点位移表达式。
该式的数学意义就是单元内任一点的位移可以由单元节点的某种形式插值得到，其中的插值基函数就是Ni、Nj、Nm。对于我们目前假定的位移模式是线性函数，所以得出的插值基函数也是类似的线性函数。由此可以看出，插值基函数具有反映单元位移变化形态的特征，所以也称之为位移形态函数，简称形函数。[N]就是形函数矩阵。 三，形函数的性质
1单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。N?N?N○ijm?1 2在单元的三个顶点处，有 ○
i节点处 Ni?1 Nj?0 Nm?0 j节点处 Nj?1 Ni?0 Nm?0 m节点处 Nm?1 Ni?0 Nj?0
以上这些，可以通过简单的数学运算进行证明。 四，位移模式收敛性的分析
由于位移模式的选取是人为假定的，这种假定只能近似模拟单元内位移的变化规律，由于单元刚度矩阵的推导是以假定的位移模式展开的，那么这种假定的位移模式能否使有限元数值解收敛与精确解，在很大程度上就取决于所选的位移模式，通过数学证明，可以找出位移模式满足收敛性的几个条件： A）完备性
1） 位移模式必须包含单元的常应变状态。
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将u、v的表达式代入几何方程，得：
?x??y??u???a1?a2x?a3y??a2 ?x?x?v???a4?a5x?a6y??a6 ?y?x?v?u?????a4?a5x?a6y???a1?a2x?a3y??a3?a5 ?x?y?x?y?xy?因为系数a2…a6都是常数，所以上面的应变分量也是常量。这也表明所选的位移模式中包含有弹性体的常应变状态。在上面的表达式中不含x、y的变量，说明单元的应变是常量，这也表明这种单元是一种常应力单元。 2） 位移模式必须包含单元的刚体位移。 弹性体位移一般包含两个部分，即变形位移和没有弹性变形的刚体位移。那么作为模拟单元
1中已经证明了弹性应变的位移状态的位移模式，也就应该能同时反映这两部分的位移。在○
变形，下名说明他也包含有刚体位移的特征。 改写位移表达式如下：
a5?a3a5?a3?u?a?ax?ay?a?ax?y?y12312?22 ?a5?a3a5?a3?v?a4?a5x?a6y?a4?a6y?x?x22?1知，a?a?a?a?0，所以上式： 当?x??y??xy?0时，由○2635a5?a3?u?a?y1?2 * ?a5?a3?v?a4?x2?我们再来看看一个点作刚体位移的运动方程。点M先
转到M1，再由M1移到M2，如左图所示：
?u?u0?r?cos??u0?wzy ** ?v?v?r?sin??v?wx00z?比较上面的*和**式，可以看出a5?u0，a4?v0，
a5?a3?wz 2由此得出在三角形线性位移模式中，也包含了单元的刚体位移。 B）协调性
3） 位移模式必须能够反映位移的连续性。 在弹性力学求解问题时，曾经讲到过变形协调方程，也说过它是弹性体变形后仍保持连续和不发生撕裂、侵入缺陷的条件。那么位移模式的选取，也应该保证单元之间不出现撕裂和侵入的缺陷。由于上面假定的位移模式是线性函数，而两点就能决定一条直线。由于相邻单元的公共边界上的位移由与之相连的两个节点插值获得，而相邻的单元具有两个公共的节点，
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所以通过这两个节点所得的插值值，不可能出现不同。也就是不可能出现下图a和图b的情况。
以上三个条件是选取位移模式必须考虑的。完备形条件是收敛的必要条件；协调条件是充分条件。在有限元中，满足完备条件的的单元是完备单元，满足协调条件的是协调单元。
§2.12 （三节点三角形）单元刚度矩阵的推导
上一节我们已经建立了三角形单元的位移插值模式，并求得了形函数的方程，这样就完成了单元内任一点的位移由单元节点位移表示（插值）的工作，接下来运用我们已学过的一系列知识，我们就可以完成单元刚度矩阵的推导了。 一，推导过程
1） 由位移插值函数导出单元应变的单元节点位移表达式
???e??x??????y?????xy?e?????x??0???????y?0?????u??? ??y?v?????x???????x??0???????y?0?????Ni??y??0????x??0NiNj00NjNm0?ui?0?????? Nm???v??m???Ni???x???0???Ni???y将Ni?0?Ni?y?Ni?x?Nj?x0?Nj?y0?Nj?y?Nj?x?Nm?x0?Nm?y?0???ui??Nm?????? ??y???v?Nm??m??x??1?ai?bix?ciy?代入上式，可得： 2A29
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???e?bi1??02A??ci?0cibibj0cj0cjbjbm0cm?ui??v?0??i????uj??cm???
?vj?bm???u?m????vm??如按分块矩阵记忆，那么：
???e??BiBj?bi1?0Bm???e 其中?Bi??2A???ci?0?ci?? i= i, j, m bi??矩阵[B]称为应变矩阵，或称为几何矩阵。
由以上计算公式知，它与单元的节点坐标有关，但不随点的坐标变化，就是说在这一单元内所有点的应变是相同的。
2） 求得单元应力的单元节点位移的表达式 将几何矩阵代入单元的物理方程，就有：
???e??D????e??D??B????e
弹性矩阵[D]是由材料常数组成的矩阵。令[S]=[D][B]，代入平面应力的物理方程，就有
???e??S????e??1E???1??2??0????bi0?1?10??0?2A1???ci?0?2?0cibibj0cj0cjbjbm0cm0??ui????cm??????bm???vm?∴
??biE??b?S??i21??2A?1???ci??2?cici1??bi2bj?cjcjcj1??bj2bm???bj1??2?bm1??2cm??cm?cm?也可以
?1???bm?2?写成分块矩阵的形式
??biE??b?Si??i21??2A?1???ci??2??ci? i= i, j, m
?1???bi?2??ci??3） 用虚功方程导出单元刚度矩阵（单刚矩阵）
虚功方程
????F???????D????dv
*T*Tv假定单元的厚度为t，上式改写为单元的虚功方程形式，
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