2019年湖北省十堰市中考数学试卷

(1)求a的取值范围;

(2)若x1+x2﹣x1x2≤30,且a为整数,求a的值.

【分析】(1)根据根的判别式,可得到关于a的不等式,则可求得a的取值范围; (2)由根与系数的关系,用a表示出两根积、两根和,由已知条件可得到关于a的不等式,则可求得a的取值范围,再求其值即可.

【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x﹣6x+2a+5=0有两个不相等的实数根x1,x2,

∴△>0,即(﹣6)﹣4(2a+5)>0, 解得a<2;

(2)由根与系数的关系知:x1+x2=6,x1x2=2a+5, ∵x1,x2满足x1+x2﹣x1x2≤30, ∴(x1+x2)﹣3x1x2≤30, ∴36﹣3(2a+5)≤30, ∴a≥﹣,∵a为整数, ∴a的值为﹣1,0,1.

【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式,利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键,注意方程根的定义的运用.

22.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,点E为C延长线上一点,且∠CDE=∠BAC. (1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若AB=3BD,CE=2,求⊙O的半径.

2

2

22

2

2

2

【分析】(1)根据圆周角定理得出∠ADC=90°,按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系,证明∠ODE为直角即可;

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(2)通过证得△CDE∽△DAE,根据相似三角形的性质即可求得. 【解答】解:(1)如图,连接OD,AD, ∵AC是直径, ∴∠ADC=90°, ∴AD⊥BC, ∵AB=AC,

∴∠CAD=∠BAD=∠BAC, ∵∠CDE=∠BAC. ∴∠CDE=∠CAD, ∵OA=OD, ∴∠CAD=∠ADO, ∵∠ADO+∠ODC=90°, ∴∠ODC+∠CDE=90° ∴∠ODE=90° 又∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线;

(2)解:∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD, ∵AB=3BD, ∴AC=3DC,

设DC=x,则AC=3x, ∴AD=

=2

x,

∵∠CDE=∠CAD,∠DEC=∠AED, ∴△CDE∽△DAE, ∴∴DE=4

,即

, =

,x=

∴AC=3x=14, ∴⊙O的半径为7.

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【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质,解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形.

23.(10分)某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼,其进价为18元/kg.设第x天的销售价格为y(元/kg),销售量为m(kg).该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:①当1≤x≤30时,y=40;当31≤x≤50时,y与x满足一次函数关系,且当x=36时,y=37;x=44时,y=33.②m与x的关系为m=5x+50. (1)当31≤x≤50时,y与x的关系式为

(2)x为多少时,当天的销售利润W(元)最大?最大利润为多少?

(3)若超市希望第31天到第35天的日销售利润W(元)随x的增大而增大,则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg,求a的最小值. 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题.

(1)依据题意利用待定系数法,易得出当31≤x≤50时,y与x的关系式为:y=

x+55,

(2)根据销售利润=销售量×(售价﹣进价),列出每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式,再依据函数的增减性求得最大利润.

(3)要使第31天到第35天的日销售利润W(元)随x的增大而增大,则对称轴=≥35,求得a即可 【解答】解:

(1)依题意,当x=36时,y=37;x=44时,y=33, 当31≤x≤50时,设y=kx+b, 则有

,解得

∴y与x的关系式为:y=x+55

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(2)依题意, ∵W=(y﹣18)?m ∴

整理得,当1≤x≤30时, ∵W随x增大而增大

∴x=30时,取最大值W=30×110+1100=4400 当31≤x≤50时, W=∵

x+160x+1850=<0

2

∴x=32时,W取得最大值,此时W=4410

综上所述,x为32时,当天的销售利润W(元)最大,最大利润为4410元 (3)依题意, W=(y+a﹣18)?m=

∵第31天到第35天的日销售利润W(元)随x的增大而增大 ∴对称轴x=

≥35,得a≥3

故a的最小值为3.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).

24.(10分)如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=α,D为△ABC内一点,将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE,点A,D的对应点分别为点B,E,且A,D,E三点在同一直线上. (1)填空:∠CDE=

(用含α的代数式表示);

(2)如图2,若α=60°,请补全图形,再过点C作CF⊥AE于点F,然后探究线段CF,

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