????一一对应Z(a,b)?????平面向量OZ １．复平面内的点
?????平面向量OZ 2. 复数z?a?bi????一一对应3.复数加法的几何意义：
设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所
对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻
边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，
∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝
(a+c)+(b+d)i
4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，
设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i?????????对应由于OZ2?Z1Z，所以，两个
复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 讲解范例：
例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)
解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－
6
4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.
解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i， ……
(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)： 原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)
=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i 例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、
B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？
解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i， ∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0， ∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.
点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB所表示的复数是zB－zA. ，而BA所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终
点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关
7
5、复数的乘除法运算：
复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. ?a,b,c,d?R?
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即mnm+nmnmn
对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有: zz=z, (z)=z, nnn(z1z2)=z1z2.
6、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；
z?a?bi,z?a?bi?a,b?R?，两共轭复数所对应的点或向量关于实 2轴对称。
z?|z|?a2?b2z?z?a2?b2?R,z?z?z?z2，
z1?z2?z1?z2,z1?z2?z1?z2,?z1?z1????z2?z2
z1a?bi?7、复数的除法：z2(a+bi)?(c+di)=c?diac?bdbc?ad?2i222c?dc?d= ?a,b,c,d?R?，分母实数化是常规方法
复数的运算，典型例题精析：
(1+i)2
例4．（1）复数 等于( )
1－i
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
8
2i?i(1?i)??1?i(1+i)1?i解析: 复数 =，选C．
2
1－i
（2）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ．
?Z?iZ?2i?Z?2i?i?11?i解：已知；
??（3）设复数z满足关系z?|z|?2?i，求z；
22a?bi?a?b?2?i 解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得
??a?a2?b2?233?a?,b?1z??i?b?1?44由复数相等可得：，解得，所以
设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。 （4）若x?C，解方程|x|?1?3i?x
22a?b?1?a?(3?b)i,由复数相解：设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:
等的定义可得：
?a2?b2?1?a??3?b?0,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。
22|z?i|?|z?i|?1，则z对应的点在复平面内表例4：(1)复数z满足
示的图形为（A）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
解：令z=x+yi（x，y∈R），则x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。故选A。
8. 复数的代数式运算技巧： （1）i的周期性：
i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1?n?Z?
i4n?i4n?1?i4n?2?i4n?3?0?n?Z?
9
1?i1?i?i??i(1?i)?2i(1?i)??2i1?i1?i（2）① ② ③ ④
22（3）“1”的立方根
????123i2的性质：
322①??1 ②??? ③1?????0 ④
??1???11 ⑤???
扩充知识： 9、特别地，
??z???AB zB－zA.，
??AB?z?zz???BAAB为两点间的距离。
|z?z1|?|z?z2|z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线；|z?z0|?r，
z对应的点的轨迹是一个圆；点的轨迹是一个椭圆；轨迹是双曲线。
|z?z1|?|z?z2|?2a?Z1Z2?2a?， z对应的
|z?z1|?|z?z2|?2a?Z1Z2?2a?， z对应的点的
z1?z2?z1?z2?z1?z210、显然有公式：
z1?z2?z1?z2?2z1?z222?22?
11、实系数一元二次方程的根问题：
2（1）当??b?4ac?0时，方程有两个实根 x1,x2。
2（2）当??b?4ac?0时，方程有两个共轭虚根，其中 x1?x2。
此时有
x12?x22?x1x2?c?b???ix1,2?a且2a。
注意两种题型：(1)x1?x2 (2)x1?x2
虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。
2已知x2?x1是实系数一元二次方程ax?bx?c?0的两个根，求x2?x1的方法：
10