复数的运算说课稿

????一一对应Z(a,b)?????平面向量OZ 1.复平面内的点

?????平面向量OZ 2. 复数z?a?bi????一一对应3.复数加法的几何意义:

设复数z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所

对应的向量为OZ1、OZ2,即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a,b),OZ2=(c,d)以OZ1、OZ2为邻

边作平行四边形OZ1ZZ2,则对角线OZ对应的向量是OZ,

∴OZ= OZ1+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=

(a+c)+(b+d)i

4. 复数减法的几何意义:复数减法是加法的逆运算,

设z=(a-c)+(b-d)i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义,以OZ为一条对角线,OZ1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差(a-c)+(b-d)i?????????对应由于OZ2?Z1Z,所以,两个

复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 讲解范例:

例1计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4) i=-11 i 例2计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i)

解法一:原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-

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4+5+…+2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.

解法二:∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i, (3-4i)+(-4+5i)=-1+i, ……

(2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i. 相加得(共有1001个式子): 原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)

=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i 例3已知复数z1=2+i,z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、

B,求AB对应的复数z,z在平面内所对应的点在第几象限?

解:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i, ∵z的实部a=-1<0,虚部b=1>0, ∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.

点评:任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB所表示的复数是zB-zA. ,而BA所表示的复数是zA-zB,故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同,只要它们的终

点与始点所对应的复数的差相同,那么向量AB所对应的复数是惟一的,因此我们将复平面上的向量称之自由向量,即它只与其方向和长度有关,而与位置无关

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5、复数的乘除法运算:

复数的乘法:z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. ?a,b,c,d?R?

复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即mnm+nmnmn

对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有: zz=z, (z)=z, nnn(z1z2)=z1z2.

6、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复数;特别地,虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数;

z?a?bi,z?a?bi?a,b?R?,两共轭复数所对应的点或向量关于实 2轴对称。

z?|z|?a2?b2z?z?a2?b2?R,z?z?z?z2,

z1?z2?z1?z2,z1?z2?z1?z2,?z1?z1????z2?z2

z1a?bi?7、复数的除法:z2(a+bi)?(c+di)=c?diac?bdbc?ad?2i222c?dc?d= ?a,b,c,d?R?,分母实数化是常规方法

复数的运算,典型例题精析:

(1+i)2

例4.(1)复数 等于( )

1-i

A.1-i B.1+i C.-1+ i D.-1-i

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2i?i(1?i)??1?i(1+i)1?i解析: 复数 =,选C.

2

1-i

(2)若复数z同时满足z-z=2i,z=iz(i为虚数单位),则z= .

?Z?iZ?2i?Z?2i?i?11?i解:已知;

??(3)设复数z满足关系z?|z|?2?i,求z;

22a?bi?a?b?2?i 解:设z=a+bi(a,b为实数),由已知可得

??a?a2?b2?233?a?,b?1z??i?b?1?44由复数相等可得:,解得,所以

设z=a+bi-x+yi(a,b为实数)复数问题实数化。 (4)若x?C,解方程|x|?1?3i?x

22a?b?1?a?(3?b)i,由复数相解:设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:

等的定义可得:

?a2?b2?1?a??3?b?0,∴a=-4,b=3,∴x=-4+3i。

22|z?i|?|z?i|?1,则z对应的点在复平面内表例4:(1)复数z满足

示的图形为(A)

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线

解:令z=x+yi(x,y∈R),则x2+(y+1)2-[x2+(y-1)2]=1,∴y=1/4。故选A。

8. 复数的代数式运算技巧: (1)i的周期性:

i4=1,所以,i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1?n?Z?

i4n?i4n?1?i4n?2?i4n?3?0?n?Z?

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1?i1?i?i??i(1?i)?2i(1?i)??2i1?i1?i(2)① ② ③ ④

22(3)“1”的立方根

????123i2的性质:

322①??1 ②??? ③1?????0 ④

??1???11 ⑤???

扩充知识: 9、特别地,

??z???AB zB-zA.,

??AB?z?zz???BAAB为两点间的距离。

|z?z1|?|z?z2|z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线;|z?z0|?r,

z对应的点的轨迹是一个圆;点的轨迹是一个椭圆;轨迹是双曲线。

|z?z1|?|z?z2|?2a?Z1Z2?2a?, z对应的

|z?z1|?|z?z2|?2a?Z1Z2?2a?, z对应的点的

z1?z2?z1?z2?z1?z210、显然有公式:

z1?z2?z1?z2?2z1?z222?22?

11、实系数一元二次方程的根问题:

2(1)当??b?4ac?0时,方程有两个实根 x1,x2。

2(2)当??b?4ac?0时,方程有两个共轭虚根,其中 x1?x2。

此时有

x12?x22?x1x2?c?b???ix1,2?a且2a。

注意两种题型:(1)x1?x2 (2)x1?x2

虚系数一元二次方程有实根问题:不能用判别式法,一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。

2已知x2?x1是实系数一元二次方程ax?bx?c?0的两个根,求x2?x1的方法:

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