2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

16.已知数列{an}满足nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若an<an+1对?n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是 [0,+∞) . 【考点】数列递推式.

【分析】把已知递推式变形,可得数列{

}的奇数项与偶数项均是以λ为公差

的等差数列,分类求其通项公式,代入an<an+1,分离参数λ求解. 【解答】解:由nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n)=λn(n+2), 得∴数列{

}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,

∵a1=1,a2=2, ∴当n为奇数时,∴

当n为偶数时,∴

当n为奇数时,由an<an+1,得即λ(n﹣1)>﹣2.

若n=1,λ∈R,若n>1则λ>当n为偶数时,由an<an+1,得

,∴λ≥0;

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即3nλ>﹣2,∴λ>,即λ≥0.

综上,λ的取值范围为[0,+∞). 故答案为:[0,+∞).

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a=(1)求C; (2)若c=

,求△ABC的面积S的最大值.

csinA﹣acosC.

【考点】正弦定理;余弦定理.

【分析】(1)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(C﹣

)=1,结合C的范围,可得C的值.

(2)由余弦定理,基本不等式可求ab≤1,进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值.

【解答】(本题满分为12分) 解:(1)∵2a=

csinA﹣acosC,

sinCsinA﹣sinAcosC,…2分

∴由正弦定理可得:2sinA=∵sinA≠0, ∴可得:2=

sinC﹣cosC,解得:sin(C﹣

∈(﹣.…6分

)=1, ),

∵C∈(0,π),可得:C﹣∴C﹣

=

,可得:C=

(2)∵由(1)可得:cosC=﹣,

∴由余弦定理,基本不等式可得:3=b2+a2+ab≥3ab,即:ab≤1,(当且仅当b=a时取等号)…8分 ∴S△ABC=absinC=

18.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=

ab≤,可得△ABC面积的最大值为.…12分

,∠EAD=∠EAB.

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(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;

(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.

【分析】(1)连接EG,由四边形ABCD为菱形,可得AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,可证△EAD≌△EAB,进一步证明BD⊥平面ACEF,则平面ACEF⊥平面ABCD; (2)法一、过G作EF的垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD,可得∠EAC为AE与面ABCD所成的角,得到EF⊥平面BDM,可得∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角,

在△DMB中,由余弦定理求得∠BMD的余弦值,进一步得到二面角B﹣EF﹣D的余弦值;

法二、在平面ABCD内,过G作AC的垂线,交EF于M点,由(1)可知,平面ACEF⊥平面ABCD,得MG⊥平面ABCD,则直线GM、GA、GB两两互相垂直,分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz,分别求出平面BEF与平面DEF的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣EF﹣D的余弦值.

【解答】(1)证明:连接EG,

∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB,BD⊥AC,DG=GB, 在△EAD和△EAB中,

AD=AB,AE=AE,∠EAD=∠EAB, ∴△EAD≌△EAB, ∴ED=EB,则BD⊥EG,

又AC∩EG=G,∴BD⊥平面ACEF, ∵BD?平面ABCD, ∴平面ACEF⊥平面ABCD;

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(2)解法一:过G作EF的垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD, 易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角, ∴∠EAC=60°, ∵EF⊥GM,EF⊥BD, ∴EF⊥平面BDM,

∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角, 可求得MG=,DM=BM=

在△DMB中,由余弦定理可得:cos∠BMD=∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为

解法二:如图,在平面ABCD内,过G作AC的垂线,交EF于M点, 由(1)可知,平面ACEF⊥平面ABCD, ∵MG⊥平面ABCD,

∴直线GM、GA、GB两两互相垂直,

分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz, 可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角,∴∠EAC=60°, 则D(0,﹣1,0),B(0,1,0),E(

设平面BEF的一个法向量为

,则

),F(

),

取z=2,可得平面BEF的一个法向量为同理可求得平面DEF的一个法向量为∴cos<

>=

=

, ,

∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为

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19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费. (1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;

(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;

(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其

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