高中数学论文
无变不生奇 无奇不引人
——例谈“问题变式”在数学复习课中的作用
【摘 要】数学的魅力在于“变”，设计问题变式，让课堂在“变”中出彩，使复习课更有效。
【关键词】问题变式； 复习课； 有效
复习课以往一贯的做法：复习基本知识与方法，例题精讲，练习巩固。这样做的目的是使学生认知结构得到完善，思维能力得到发展。但数学的复习教学是一个很杂乱的过程，弄不好会有“既费了时间，又不着力”的感觉。如何使复习课更生动，更有效，让数学复习课“活”起来？这就要求数学课堂的设计要做到化繁为简，化散为整。本文仅从“问题变式”的应用入手，谈“问题变式”在数学复习课中的作用。
1 在“变式”中理解数学概念
复习课的主旨是知识的再现，其目的是唤起学生的记忆，为本节课的进一步深入提供必要的基础支撑。在这个过程中，对一些学生容易混淆的数学概念，可适当地利用问题变式，加深学生对数学概念的认识和理解，提高学生辨别是非的能力，使课堂在学生积极的思维活动中充满活力。
案例1 在复习“空间中的平行关系”时，笔者首先引导学生回忆了空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行关系，接着给出下面的问题变式：
问题1 设a、b、c为三条不重合的直线，?、?、?为三个不重合平面，现给出六
?a//c,?a//?,??//c,个命题：①??a//b； ②??a//b； ③???//?；
b//cb//??//c???④???//?,??//c,?a//?, ??//?；⑤??a//?；⑥???//a。其中正确的命题是（ ）
??//??a//c??//?A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④
变式 已知平面?、?和直线m，给出5个条件：①m//?；②m??；③m??；
④???；⑤?//?。要使m//?，应选择下面四个选项中的（ ）
A．①④ B．①⑤ C．②⑤ D．③⑤
空间中的平行关系特别是直线与平面的平行关系，学生特别容易判断错误，通过这样针对性的变式练习，帮助学生加深理解“空间中的平行关系”，避免学生在理解上可能出现的错误，使复习收到较好的效果。
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在“变式”中掌握数学方法
数学不是技艺型的学科，而应是属于思考型的学科，所以在数学教学过程中应注重通性
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通法。让学生熟练地掌握解题方法、提高解题能力是数学复习的重要目标之一。因此，数学复习课堂上应该更多地注重“一题多变”“一题多用”“多题归一”，更多地注重抓题目“核心”，“提炼”解题的思想方法，并特别重视对题目解后的回顾与反思：能否用别的方法导出这个结果？能否把这个结果或方法用于其他的问题？
案例2 在复习“导数及其运用”时，笔者为了帮助学生更好地掌握导数与函数单调性的关系，设计了下面的问题及其变式：
问题2 已知函数f(x)?x?ax?x?1(a?R)在区间??数a的取值范围。
变式1 已知函数f(x)?x?ax?x?1在区间??3232?21?,??内是减函数，求实33???21?,??上递减，在区间?33??1???,???上递增，求实数a的取值范围。 ?4?变式2 已知函数f(x)?x?ax?x?1在区间??实数a的取值范围。
变式3 已知函数f(x)?x?ax?x?1在区间??值范围。
在问题2中，“函数f(x)在区间??3232?21?,??内存在单调递减区间，求33???21?,??内不单调，求实数a的取33???21?,??内是减函数”等价于“不等式?33??21?f'(x)?3x2?2ax?1?0对x???,??恒成立”。虽然本题的求解思路不止一种，但转
?33?化为不等式恒成立问题显然过程更简洁，更易于理解。变式1比问题2多了一个单调区间，可转化为两个不等式恒成立问题：当x???成立，且当x????21?'2不等式f(x)?3x?2ax?1?0恒,??时，
?33??1?,???时，不等式f'(x)?3x2?2ax?1?0恒成立。变式2好像是存?4?在性问题，看似思维突变，实则仍是恒成立问题，不妨从反面入手，假设f(x)在区间?21???,??内不存在递减区间，而f(x)又不存在常数函数区间，所以f(x)在区间?33??21?由此可转化为不等式恒成立问题。变式3依然可从反面入手，假设f(x)??,??内递增，
33??在区间???21?,??内单调，可转化为两个不等式恒成立问题。 ?33?以上所探讨的“函数在给定区间上单调”问题，通过问题变式，由易到难，很好地完成了引导学生夯实基础，总结解题方法，提高解题能力的任务。
3 在“变式”中体会数学思想
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数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过教师对典型例题的分析和学生的自主探索活动，使学生逐步掌握数学概念、结论形成的过程，体会其中蕴含的思想方法。在数学复习教学中，合理地运用问题变式，让学生通过探究问题变式，体会数学思想方法的价值和妙用，提高数学复习的有效性。
案例3 在复习“立体几何”时，笔者为了帮助学生能多角度观察空间几何问题，认识图形中的数量关系，拓展学生探究问题的方式和角度，设计了下面的问题及其变式：
问题3 如图，在?ABC中，∠ABC=60°,∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°。 （Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC； （Ⅱ）设E为BC的中点，求AE与
BDB夹角的余弦值。
DECAACDB变式1 将条件中的∠BDC=90°改为∠BDC=120°，如何处理？
变式2 改E为线段BC的一动点，试求AE与DB夹角的余弦值的取值范围。 变式3 若AB=1，点F在线段AC上，（其余不变），求△DEF周长的最小值。
变式4 试问在平面ABC上是否存在一点P，使得该点到棱锥A-BCD的四个顶点的距离均相等？若存在，请求出│AP│，若不存在，请说明理由，并判断在棱锥体内部这样的点存在吗？
问题3是一道比较简单的中档题，只要建立空间直角坐标系，所有问题都可迎刃而解，变式1主要考查学生在没有现成的三线两两垂直的情况下，如何建立空间直角坐标系？变式2主要考查学生如何选择参变量写出点的坐标，并构造函数模型求函数的值域？变式3主要考查学生怎样利用空间图形的几何性质探究最值问题？变式4的设计意图是借助固有的研究思路，将平面的“等距问题”拓展到空间。
通过以上的问题变式，学生领悟了高中数学中四种主要的数学思想方法——函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等在数学解题中的妙用，能理解、体会并能自觉将数学思想应用于数学问题的分析和解决的过程中，提高了复习的效果。 4 在“变式”中总结解题规律
数学问题的解决是有规律的，这些规律由教师讲解还是由学生自己发现，教学效果是大不相同的。笔者认为，引导学生用自己的语言理解、概括、提炼知识所取得的成效，远大于教师“系统归纳”知识所取得的成效。借助“问题变式”，让学生在解题中发现规律、总结规律并利用规律解决问题。
案例4 复习“数列求和”时，笔者提出下面的问题： 问题4 求数列??1111?????的前n项和：。 ?1?22?3n(n?1)?n(n?1)?变式1 求和：
111????。 1?32?4n(n?2)变式2 已知数列?an?是等差数列，an?0，且公差为d，求和：
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