2.3.2 向量数量积的运算律
课时过关·能力提升
1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )
A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b|
D.a+b=a-b
解析:|a+b|2
=|a|2
+2a·b+|b|2
,
|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.
因为|a+b|=|a-b|,
所以|a|2
+2a·b+|b|2
=|a|2
-2a·b+|b|2
, 即2a·b=-2a·b, 所以a·b=0, 所以a⊥b.故选B. 答案:B 2.设向量a,b,c满足a+b+c=0,a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|2
等于( ) A.1
B.2
C.4
D.5
解析:由a+b+c=0得c=-(a+b),
于是|c|2
=|-(a+b)|2
=|a|2
+2a·b+|b|2
=1+4=5. 答案:D 3.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则实数k的值为( ) A.± B.±
C.±
D.±
解析:由(a+kb)⊥(a-kb)知(a+kb)·(a-kb)=0,
即|a|2
-k2
|b|2
=0,
因此9-16k2
=0,所以k=±.
答案:A 4.已知a,b是非零向量,满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是( A. B. C. D.
)
1
解析:由已知得(a-2b)·a=0,
因此|a|2
-2a·b=0.
同理(b-2a)·b=0,即|b|2
-2a·b=0,
于是有|a|=|b|,且a·b=|a|2
,
从而cos
又
答案:B
5.如图,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是( ) A. B.()⊥() C.()·()=0
D.
解析:由于,
所以,故D项不正确. 答案:D 6.
如图,在△ABC中,AD⊥AB,
,||=1,则等于 (A.2 B. C. D.
)
2
解析:由图可得=()·.
∵AD⊥AB,∴又∵,
=0.
∴=0+答案:D )·=0+|2=.∴.
7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为 . 答案:
8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,则a·b= . 答案:-63
9.设O,A,B,C为平面上的四个点,
=a,=b,=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则
|a|+|b|+|c|= .
答案:3
10.在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则= .
解析:由已知得),,
所以)·-||2-=-答案:-
.
★11.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);
3