导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用

导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。

导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。

1．导数与函数的极值、最值解读

函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。

函数y?f(x)在点x0处可导，则F'(x0)?0是x0是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。

最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。

2．导数在实际生活中的应用解读

生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。

例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

60?x思路：设箱底边长为xcm，则箱高h?cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：

260x2?x3r(x)?xh?(0?x?60)，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的

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1，这个结论是否具有一般性？ 6

变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？

a2提示：V(x)?x?a?2x?(0?x?)

2a答案：x?。

6

评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值。可见，导数的引入，大大拓展了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间。

例2： 已知某商品生产成本C与常量q的函数关系式为C?100?4q，价格p与产量q

1的函数关系式p?25?q。求产量q为何值时，利润L最大。

8 分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格。由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润。

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1?1?解：收入R?q?p?q?25?q??25q?q2

8?8?1?? 利润L?R?C??25q?q2???100?4q?

8??1 ??q2?21q?100?0?q?200?

81 L'??q?21

41令L'?0，即?q?21?0 求得唯一的极值点q?84

4 因为L只有一个极值点，所以它是最大值。 答：产量为84时，利润L最大。

点评：上题主要也是考查利用导数研究函数的最值的基础知识，运用数学知识解决利润问题，在实际生活中应用也很广泛。

例3：烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在底面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小。

解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8. 并设AC=x (0?x?20) ∴CB=20?x， 于是点C的烟尘浓度为：y?其中k为比例系数。

k8k? (0?x?20)， 22x(20?x)2k16k2(9x3?60x2?1200x?8000)则y??3? ?k?333x(20?x)x(20?x)'第 3 页 （共 5 页）