2016年广东省中考数学试卷(含答案解析)

25.(9分)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.

(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形? (2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;

(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.

【分析】(1)根据平移的性质,可得PQ,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可得答案;

(2)根据正方形的性质,平移的性质,可得PQ与AB的关系,根据等腰直角三角形的判定与性质,可得∠PQO,根据全等三角形的判定与性质,可得AO与OP的数量关系,根据余角的性质,可得AO与OP的位置关系;

(3)根据等腰直角三角形的性质,可得OE的长,根据三角形的面积公式,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得到答案. 【解答】(1)四边形APQD为平行四边形; (2)OA=OP,OA⊥OP,理由如下: ∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°, ∵OQ⊥BD, ∴∠PQO=45°,

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°, ∴OB=OQ,

在△AOB和△OPQ中,

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∴△AOB≌△POQ(SAS), ∴OA=OP,∠AOB=∠POQ, ∴∠AOP=∠BOQ=90°, ∴OA⊥OP;

(3)如图,过O作OE⊥BC于E. ①如图1,当P点在B点右侧时, 则BQ=x+2,OE=∴y=×

?x,即y=(x+1)2﹣,

又∵0≤x≤2,

∴当x=2时,y有最大值为2; ②如图2,当P点在B点左侧时, 则BQ=2﹣x,OE=∴y=×

?x,即y=﹣(x﹣1)2+,

又∵0≤x≤2,

∴当x=1时,y有最大值为;

综上所述,∴当x=2时,y有最大值为2;

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【点评】本题考查了二次函数综合题,利用平行四边形的判定是解题关键;利用全等三角形的判定与性质是解题关键;利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键,又利用了二次函数的性质.

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