概率论中几种常用的重要的分布
摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词
1 一维随机变量分布
随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常
用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．
随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X为一个随机变数，令 F(x)?P([X?(??,x)])?P([Xx]),(??x??).
这样规定的函数F(x)的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X的分布函数。
有的随机函数X可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值a1,a2,...,使得 P([X?{a1,a2,...}])?1
称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。
（1）X可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a,使P([X?a])?1。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a来确定。 （2）X可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a，b，使
P([X?{a,b}])?.1称这种随机变数的分布为两点分布。如果P([X?b])?p，那
么，P?([X?a])?1?p。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数a,b及一个在区间（0,1）内的值p来确定。
特殊地，当a,b依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p来确定。
（3）X可能取的值只有n个：a1,...,a2（这些值互不相同），且，取每个ai值
1得概率都是，称这种随机变数的分布为离散型均匀分布。一个离散型均匀分布
n可以用一个正整数n及n个不同的常数a1,...,a2来确定。 定义1.2 若随机变量X的概率分布为
P{X?0}?1?p,P{X?1}? p其中0p1，则称X服从参数为p的（0-1）分布。
（0-1）分布是最简单的一种分布，它用于描述只有两个可能结果的试验。例如，对新生婴儿的性别登记，观察机器是否正常工作，考察一件产品是否为合格品等，均可用（0-1）分布来描述。 定义1.3 若随机变量X的概率分布为
kkp(1?p)(n?k),k?0,1,...,n {X?k}?Cn其中n?1为正整数，0X~B(n,p)
p1，则称X服从参数为n,p的二项分布，记作
由二项分布的导出可知，该种分布用于描述n重伯努利试验中发生的概率为 我们对事件A所在的试验进行独立重复观察，p.在研究某事件A发生的概率时，
统计出事件A发生的次数?n。这里?n是一个随机变量，它就服从二项分布。另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开
着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。
在二项分布中，如果n?1，那么只能取0或1，这是显然有
p0?1?p， p1?p 也可以表示成 0 1 1?p p ? pi 这个分布就是上面介绍的（0-1） 分布，它是二项分布的特例。在讨论 抛掷均匀硬币的例子中，随机变量? 的分布列为
? pi 0 1 11 221它就是（0-1）分布当p?时的特例。
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定义1.4 若随机变量X的概率分布为
P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,...
其中?0为常数，则称X服从参数为?的泊松分布，记作X~P(?).
泊松分布是作为二项分布的极限分布而引入的。事实上，泊松定理表明，当
n很大时，p很小，np适中时，B(n,p)分布就近似于P(?)分布，其中??np。
由二项分布描述的内容可知，泊松分布主要用于描述大量独立重复实验中稀有事件发生的次数，所谓稀有事件指概率很小的事件。由此，纺织品上的疵点数，印刷品中的错字数，某时间段内电话交换台接到的呼叫次数，某时间段内公共汽车站等车的乘客人数等均可用泊松分布来描述。
。
定理 1.1 （泊松定理） 在n重贝努力试验中，事件A在一次实验中出现的概率为pn（与实验总数n有关），如果当n??时，npn??（?有
limb(k;n,pn)?n??，则0常数）
?kk!e??,k?0,1,2,...
证明 记npn??n，则 b(k;n,np?)???n??k?kn p?(1npn?)kkn(n?1)...(n?k?1)??n? ???k!?n???n??1??n??n?k
n?k1??2??k?1???n? ?1????1??...?1???1??k!?n??n??n??n?对于任一固定的k，显然有
?nk?
?nk??k limn????? lim?1?n?n??n??n?k??n??n?lim?1??n??n??n?nn?kn?e??
还有
?1??k?1? lim?1??...?1???1 n??nn????从而
limb(k;n,pn)?n???kk!e??