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第5章 定积分及其应用
学习目标
理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法.
熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.
定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.
5.1 定积分的概念与性质
定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.
5.1.1实例分析
1.曲边梯形的面积
在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.
所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线x?a,x?b,y?0及曲线y?f(x)所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.
y y
a o b x a o b x
(a) (b)
图5.1
y b a o x (c) 现在求f(x)?0时，在连续区间[a,b]上围成的曲边梯形的面积A（如图5.1(a),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：
(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形
在区间[a,b]内任意插入n?1个分点：a?x0?x1?x2?????xn?1?xn?b，把区间
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[a,b]分成n个小区间：[x0,x1],[x1,x2],?[xi?1,xi],?,[xn?1,xn]，第i个小区间的长度为?xi?xi?xi?1(i?1,???,n)，过每个分点作垂直于x轴的直线段，它们把曲边梯形分成n个
小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为?Ai(i?1,2,???n).
y ?i a?x0x1x2 o xi?1xi xn?1xn?b x 图5.2
(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积
在小区间[xi?1,xi]上任取一点?i(i?1,2,???,n)，作以[xi?1,xi]为底，f(?i)为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则
?Ai?f(?i)?xi(i?1,2,???,n).
(3)求和——求n个小矩形面积之和
n个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A，即
A??A1??A2??????An?f(?1)?x1?f(?2)?x2?????f(?n)?xn
??f(?i)?xi.
i?1n(4)取极限
令??max??xi?，当分点n无限增多且??0时，和式
1?i?n?f(?)?x的极限便是曲边
iii?1n梯形的面积A，即
A?lim?f(?i)?xi.
??0i?1n2．变速直线运动的路程
设一物体作变速直线运动，其速度是时间t的连续函数v?v(t)，求物体在时刻t?T1到
t?T2间所经过的路程S.
我们知道，匀速直线运动的路程公式是：S?vt，现设物体运动的速度v是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：
(1)分割——把整个运动时间分成n个时间段
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在时间间隔[T1,T2]内任意插入n?1个分点：T1?t0?t1?????tn?1?tn?T2，把
[T1,T2]分成n个小区间：[t0,t1],[t1,t2],???[ti?1,ti],???,[tn?1,tn]，第i个小区间的长度为?ti?ti?ti?1(i?1,2,???n),第i个时间段内对应的路程记作?Si(i?1,2,???n).
(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程 在小区间[ti?1,ti]上任取一点?i(i?1,2,???n),用速度v(?i)近似代替物体在时间
[ti?1,ti]上各个时刻的速度，则有
?Si?v(?i)?ti(i?1,2,???,n).
(3)求和——求n个小时间段路程之和
将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即
S??S1??S2??????Sn?v(?1)?t1?v(?2)?t2?????v(?i)?tn
??v(?i)?ti.
i?1n(4)取极限
令??max??ti?，当分点的个数n无限增多且??0时，和式
1?i?n?v(?)?t的极限便是
iii?1n所求的路程S.即
S?lim?v(?i)?ti
??0i?1n 从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.
5.1.2定积分的概念
定义5.1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任取分点a?x0?x1?x2?????xn?1?xn?b 把区间[a,b]任意分割成n个小区间[xi?1,xi]，第i个小区间的长度为?xi?xi?xi?1(i?1,???,n)，记??max??xi?.在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i(i?1,2,???,n)作和式
1?i?nn?f(?)?x，
iii?1in当??0时，若极限lim??0?f(?)?x存在（这个极限值与区间[a,b]的分法及点?iii?1的取法无
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关），则称函数f(x)在[a,b]上可积，并称这个极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作
?baf(x)dx，即
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi .
??0i?1n其中，“f(x)”称为被积函数，“f(x)dx”称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间.
根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为： ①曲边梯形的面积A是曲线y?f(x)在区间[a,b]上的定积分.
A??f(x)dx(f(x)?0).
ab②变速直线运动的物体所走过的路程S等于速度函数v?v(t)在时间间隔[T1,T2]上的定积分.
S??v(t)dt.
T1T2关于定积分的定义作以下几点说明：
⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的. ⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间[a,b]，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有
?baf(x)dx??f(t)dt.
aabb⑶在定积分的定义中，有a?b，为了今后计算方便，我们规定：
?容易得到
f(x)dx???f(x)dx.
ab?aaf(x)dx?0.
5.1.3定积分的几何意义
设f(x)是?a,b?上的连续函数，由曲线y?f(x)及直线x?a,x?b,y?0所围成的 曲边梯形的面积记为A.由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：
（1）当f(x)?0时，（2）当f(x)?0时，
??babaf(x)dx?A f(x)dx??A
（3）如果f(x)在?a,b?上有时取正值，有时取负值时，那么以?a,b?为底边，以曲线 使得每一部分都位于x轴的上方或下方.这时 y?f(x)为曲边的曲边梯形可分成几个部分，
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定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有
?baf(x)dx?A1?A2?A3
其中A1,A2,A3分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.
例5.1.1 利用定积分的几何意义，证明
?1?11?x2dx??2.
证 令y?1?x2,x?[?1,1] ，显然y?0， 则由y?1?x2和直线x??1,x?1，y?0 所围成的曲边梯形是单位圆位于x轴上方的半圆. 如图5.4所示.因为单位圆的面积A??，
所以 半圆的面积为
?. 2由定积分的几何意义知：
?
1?11?x2dx??2 .
5.1.4定积分的性质
由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.
性质5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即
?bakf(x)dx?k?f(x)dx.
abab性质5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即
??f(x)?g(x)?dx??abf(x)dx??g(x)dx.
ab这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点c，有
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baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.
accb注意 c的任意性意味着不论c是在[a,b]之内，还是c在[a,b]之外，这一性质均成立.