复变函数复习重点 (一)复数的概念
1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。 3）arg?z?与arctany之间的关系如下：
x 当x?0,
argz?arctany； x?y?0,argz?arctan??当x?0,??y?0,argz?arctan??y??x； y??x4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：z?zei?，其中??argz。
(二) 复数的运算
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
z1x1?iy1?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1。 ????i2222z2x2?iy2?x2?iy2??x2?iy2?x2?y2x2?y2122）若z1?z1ei?,z2?z2ei?, 则
z1z2?z1z2e?1i???2?；z1z2?z1i??1??2? ez2
3.乘幂与方根
1） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则zn?2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则
nz(cosn??isinn?)?zein?。
nn??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2n?1)（有n个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数
1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。
注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)； (k?0,?1,?2)（多值函数）
主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z
平面内处处
解析，且?lnz???1；
z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb???bzb?1。
eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz?2i2coszsinz
sinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz
注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）
4）
shzez?e?zez?e?z,chz?双曲函数 shz?22；
平面内解析，且
奇函数，chz是偶函数。在sh,zchzz
???sh?zc,?hz??c?hz。 shz
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：
f??z0?=lim?z?0f?z0??z??f?z0?；
?z2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
?u?v?? ?y?x?u?v?,?x?y 此时， 有f??z???u?i?v。
?x?x2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在
D
内可微，且满足
C?D条件：