复变函数与积分变换复习重点41362资料

复变函数复习重点 (一)复数的概念

1.复数的概念:z?x?iy,x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1)模:z?x2?y2;

2)幅角:在z?0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Arg?z?(多值函数);主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。 3)arg?z?与arctany之间的关系如下:

x 当x?0,

argz?arctany; x?y?0,argz?arctan??当x?0,??y?0,argz?arctan??y??x; y??x4)三角表示:z?z?cos??isin??,其中??argz;注:中间一定是“+”号。

5)指数表示:z?zei?,其中??argz。

(二) 复数的运算

1.加减法:若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法:

1)若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则

z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?;

z1x1?iy1?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1。 ????i2222z2x2?iy2?x2?iy2??x2?iy2?x2?y2x2?y2122)若z1?z1ei?,z2?z2ei?, 则

z1z2?z1z2e?1i???2?;z1z2?z1i??1??2? ez2

3.乘幂与方根

1) 若z?z(cos??isin?)?zei?,则zn?2) 若z?z(cos??isin?)?zei?,则

nz(cosn??isinn?)?zein?。

nn??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2n?1)(有n个相异的值)

(三)复变函数

1.复变函数:w?f?z?,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2.复初等函数

1)指数函数:ez?ex?cosy?isiny?,在z平面处处可导,处处解析;且?ez???ez。

注:ez是以2?i为周期的周期函数。(注意与实函数不同) 3) 对数函数: Lnz?lnz?i(argz?2k?); (k?0,?1,?2)(多值函数)

主值:lnz?lnz?iargz。(单值函数)

Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z

平面内处处

解析,且?lnz???1;

z注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)

3)乘幂与幂函数:ab?ebLna(a?0);zb?ebLnz(z?0)

注:在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且?zb???bzb?1。

eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4)三角函数:sinz?2i2coszsinz

sinz,cosz在z平面内解析,且?sinz???cosz,?cosz????sinz

注:有界性sinz?1,cosz?1不再成立;(与实函数不同)

4)

shzez?e?zez?e?z,chz?双曲函数 shz?22;

平面内解析,且

奇函数,chz是偶函数。在sh,zchzz

???sh?zc,?hz??c?hz。 shz

(四)解析函数的概念 1.复变函数的导数 1)点可导:

f??z0?=lim?z?0f?z0??z??f?z0?;

?z2)区域可导: f?z?在区域内点点可导。 2.解析函数的概念

1)点解析: f?z?在z0及其z0的邻域内可导,称f?z?在z0点解析; 2)区域解析: f?z?在区域内每一点解析,称f?z?在区域内解析; 3)若f(z)在z0点不解析,称z0为f?z?的奇点;

3.解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数; (五)函数可导与解析的充要条件

1.函数可导的充要条件:f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微,且在?x,y? 处满足C?D条件:

?u?v?? ?y?x?u?v?,?x?y 此时, 有f??z???u?i?v。

?x?x2.函数解析的充要条件:f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在

D

内可微,且满足

C?D条件:

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