f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(-∞，-) B．(-，+∞) C．(0，+∞) D．(-∞，-)
[考场错解] 选A或C
[专家把脉] 选A，求f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误；选C，求复合函数的单调区间时没有注意内、外层函数均递减时，原函数才是增函数．事实上 (0，+∞)是f(x)的递减区间．
[对症下药] D ∵f(x)=loga(2x+x)(a>0且a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，若a>1，则由f(x)>0 x>或x<-1．与题设矛盾.∴0
4．(典型例题)已知函数f(x)=ln(e+a)(a>0)
-1
(1)求函数y=f(x)的反函数y=f(x)及f(x)的导数f′(x)．
f-1
(2)假设对任意x∈[ln(3a)，ln(4a)]．不等式｜m-(x)｜lnf′(x)<0成立．求实数m的取值范围．
xy-1x
[考场错解] (1)由y=f(x)=ln(e+a)得x=ln(e-a)．∴f(x)=ln(e-a)(x>lna)，f′(x)=[ln(e+a)]′=
-1
x
x2
14141212122
142
181212exe?a.x
exex?a.exex?a. (2)由｜m-f(x)｜+ln[f′(x)]<0得-ln
x
+ln(e-a) exex?a.xx exex?a.x 在 (ln(3a)，ln(4a))上恒成立．设h(x)=ln(e-a)+lnm＜[h(x)]mni.且m＞[S(x)]max ∵S(x)，h(x)=ln(e-a)+ln(1+[h(x)]min=ln(2a)+ln=ln(a)． [S(x)]max=ln(3a)-ln=ln( ∴ln( 128a) +ln（e-a)．即 aex)在[ln(3a)，ln(4a)]上是增函数．∴ [专家把脉] 错在第(2)问h(x),S(x)在(ln(3a)，ln(4a))上是增函数没有根据．应用定义法或导数法判定后才能用这一结论． xy-1x [对症下药] (1)由y=f(x)=ln(e+a)得x=ln(e-a)∴y=f(x)=ln(e-a)(x>lna)，f′(x)= exex?a.. (2)解法1 由｜m-f(x)｜+ln(f′(x))<0得-ln于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有 x -1 exex?a.+ln(e-a) xx ex(ex?a)ex?a (ex)2?a2ex ① t(t?a)mt2?a2 设t=e，u(t)=，v(t)=，于是不等式①化为u(t) t?at当t1 t2(t2?a)t1(t1?a)(t2?t1)[t1t2?a(t1?t2)?a2]u(t2)-u(t1)=-=＞0. (t1?a)(t2?a)t1?at2?a22t2?at1?at1t2(t2?t1)?a2(t2?t1)(t1?t2)(t1t2?a2)v(t2)-v(t1)=-==>0 t2t1t1t2t1t2 ∴u(t)，v(t)在[3a，4a]上是增函数． 因此，当t∈[3a，4a]时，u(t)的最大值为u(4a)= 而不等式②成立，当且仅当u(4a) 12128m8a m 128a，v(t)的最小值为v(3a)=a，53解法2 由｜m-f(x)｜+ln(f′(x))<0得 xxxx ln(e-a)-ln(e+a)+x xx 设?(x)=ln(e-a)-ln(e+a)+x， r(x)=ln(e-a)+ln(e+a)-x， 于是原不等式对于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒成立等价于? (x) xx x exex?ax ?x exex?a+1,r?(x)?exex?a?exex?a-1． 注意到0 128a)＜m 论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用. 考场思维训练 1x2-x (e+e)(x<1)(其中e为自然对数的底数)，则 ( ) 2e33-11-1-11-1 A．f() 2233-1-1-1-1 C.f(2) 1 已知函数f(x)= 答案： D解析： f(x)= 1xe2(e?x)(x?1)令ex?t,则t?(0,e)上是减函数,则f(x)?1且在(??,1)上是减函数,由于反函数的两个函数在各自的定义域上单调性相2ee3?f?1(x)在[1,??]上是减函数.?f?1()?f?1(2).选D.22 已知f(x)=a+loga(x+1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 ( ) A. B. C．2 D．4 4 2答案： B解析：f(x)=ax+loga(x+1)是单调递增（减）函数. (∵y=ax与y=loga(x+1)单调性相同).且在[0，1]的最值分别在端点处取得，最值之和：f(0)+f(1)=ao+loga1+log22=2, ∴loga2+1=0, ∴a=.?选B. 3 对于0 1?1?111+a1+a ①loga(1+a)＜loga(1+) ②loga(1+a)＞loga(1+) ③a aa11x 1112 其中成立的是 ( ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D．②与④ 答案： D 解析： ?111x?0?a?1,?a?1?,?1?a?1?.而y?loga与y?ax均为减函数.?loga(1?a)?loga(1?),a1?a?a1a.aaa1选D。 4 已知函数f(x)=loga[( 1-2)x+1]在区间[1，2]上恒为正，求实数a的取值范围． a答案：在区间[1，2]上使f(x)>0恒成立。 解析：（1）当a>1时，只要(?2)x?1?1. 即(?2)x?0.?x?[1,2],??2?0,?a?1a1a1a1a1与1矛盾. 2(2)当0 22?g()?1 当 ?g(2)?011?a?1时,(?2)?0.g(x)是减函数,只要?2a?g(1)?1,解得1212?a?.综上所述:?a?. 2323命题角度 3 函数的应用 1．(典型例题)某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 2 L1=5．06x-0．15x，和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( ) A．45．606 B．45．6 C．46．8 D．46．806 [考场错解] D 设甲地销售x轴，则乙地销售15-x辆．总利润 2 L=L1+L2=5.06x-0．15x+2(15-x)= -0．15x+3．06x+30=-O．15(x- ∴当x= 2 512 )+46.806 551时，获得最大利润46．806万元．故选D. 551不为整数，在实际问题中是不可能的，因此x应根据抛5 [专家把脉] 上面解答中x=物线取与x= 51接近的整数才符合题意． 5 [对症下药] B 设甲地销售x辆．则乙地销售(15-x)辆，则总利润 2 L=L1+L2=5．06x-0．15x+2(15-x)= 22* -0．15x+3．06x+30=-0．15(x-10．2)+46．806． 根据二次函数图像和x∈N，∴当x=10 2 时，获得最大利润L=-0．15×10+3．06×10+30=45．6万元．选B． 2．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000t，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)． (1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量． 2 (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额y=0．002t.在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少? [考场错解] (1)因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际利润为：W=2000t-St=(2000-St)=S(2000-?t?2000?t??=10003S．当且仅当t)≤S·???2??2t=2000-t.即t=10(吨)时．W取得最大值． 6 (2)设甲方净收入为v元，则 26 v=St-0.002t,将t=10代入上式 61263 v=10S-10×0.002=10(S-2×10). ∵v在(0，+∞)上是增函数．即S越大，v越大，故甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是任意大的数字． [专家把脉] 上面解答主要在第(1)问求w的最值时，变形出了错误，即由w=2000t-St=St(2000-t)正确的变形为w=2000t-St=St( 2000-t)．这一步出错S导致后面结果都是错误的． [对症下药] (1)解法1 因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际年利润为：W=2000-St 22000t??t2000100022000S)=( ∵W=2000t-St=St(-t)≤S()当且仅当t=-tSSS2即t=( 10002 )时，W取得最大值． S10002 )吨． S ∴乙方取得最大年利润的年产量t=( 解法2 因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际年利润为W=2000t-St． ∴W=2000t-St=-S(t- ∴当t=( 1000210002 )+ SS 10002 )时，w取得最大值． S10002 ) (吨) S ∴乙方取得最大年利润的年产量t=( 解法3 因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际年利润为：w=2000t-St． 由w′= 1000t-S= 1000?Stt,令w′=0得t=t0=( 10002 )．当t )吨． S<0．所以t=t0时w取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量t0=((1) 设甲方净收入为v元，则 2 v=St-0．002t． 将t=( 10002 )代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式 S100022?10003v=-. SS4又v′=- 10003S2?8?10003S5?10002(8000?S3)S5-令v′=0得S=20，当S<20时，v′>0；当S>20 时，v′<0， ∴S=20时，v取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格S=20(元／吨)时，获得最大净收入． 3．(典型例题)某段城铁线路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm