第3章动量定理及其守恒定律习题解答 15 第3章动量定理及其守恒定律习题解答
第三章基本知识小结
⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。
???dvd2r??m2 矢量式：F?ma?mdtdtFx?max,Fy?may,Fz?maz（直角坐标）分量式：
dv?v2F??ma??m,Fn?man?m（弧坐标）dt?
⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。
??dp导数形式：F?
dt??微分形式：Fdt?dp
???积分形式：I(??Fdt)??p
（注意分量式的运用）
⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即
?? 若?F外?0，则p?恒矢量。（注意分量式的运用）
⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：在转动参考系中：
?*?f??ma0
?*?fk?2mv'??
??mac??miai
?*?fc?m?2r,⒌质心和质心运动定理 ⑴mrc????miri??mvc??mivi??⑵?F?mac
（注意分量式的运用）
3.5.1 质量为2kg的质点的运动学方程为
???(3t2?3t?1)?， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 r?(6t2?1)ij（单位：米，秒）
???2?2????12?解：∵a?dr/dt?12i?6j, F?ma?24ij 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒
力而运动。
F=(242+122)1/2=12
5N，力与x轴之间夹角为：
??arctgFy/Fx?arctg0.5?26?34'
3.5.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：rω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵a???bsin?t?a,b,?acos?tij，
?????bsin?t??d2r/dt2???2(acos?tij)???2r
???F?ma??m?2r, ∴作用于质点的合力总指向原点。
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3.5.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？
解：以地为参考系，设谷物的质量为m，所受到的最大静摩擦力为 加速度为
f??omg，谷物能获得的最大
a?f/m??og?0.4?9.8?3.92m/s2 ∴筛面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2，才能使谷
物与筛面发生相对运动。
μ1 m 1 μ2 m 2
3.5.3 题图 3.5.4题图
3.5.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2间的摩擦系数为μ
1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
F
解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，
y
x
f2 f1' m2g N2 N1' F a2 a1
N1
f1
m1g
其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有
?1N1?m1a1F??1N1??2N2?m2a2a1??1gN1?m1g?0N2?N1?m2g?0 解方程组，得
a2??F??1m1g??2m1g??2m2g?/m2
?a1，即
?F???1??2要把木板从下面抽出来，必须满足a2F??1m1g??2m1g??2m2g?m2?1g??m1?m2?g
m1 αm2 3.5.5 质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。
解：
x'
N1
f*=m1a2
y' α α m1g
a'
y N2
x
a2
α N1'=N1 m2g
以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2），取m1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N1为斜面对人的支撑力，f*为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：
?N1?m1gcos??m1a2sin??0?(1)?(2)?m1gsin??m1a2cos??m1a'?律建立方程：
再以地为参考系，取m2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定
?(3)?N1sin??m2a2 （1）、（2）、（3）联立，即可求??N2?m2g?N1cos??0?(4)m1m2cos?得：N1?gm2?m1sin2?
3.5.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F
(m?m2)sin?a'?1g
m2?m1sin2?m1 m2
F
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的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μ(N1+m2g)=μ(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：
N1
T a
f1
m1g
T f2 f1 a
N2 N1 m2g
F
T??m1g?m1a①F??m1g??(m1?m2)g?T?m2a②
①+②可求得：a?F?2?m1g??g
m1?m2将a代入①中，可求得：T
?m1(F?2?m1g)
m1?m2A B 3.5.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μm2g，T'=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（a1+a2）/2=a3.
对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：
C N1
T' T
T a3 m3g
N2
f2
m2g
a2
T??m1g?m1a1①T??m2g?m2a2②m3g?2T?m3(a1?a2)/2③①,②,③联立，可求得：
f1 a1 m1g
??2m2m3(1??)a1?????g?(m1?m2)m3?4m1m2???2m1m3(1??)a2?????g
?(m1?m2)m3?4m1m2??(m1?m2)m3(1??)?a3?????g?(m1?m2)m3?4m1m2?3.5.8天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2的物体（m1≠m2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
解：隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：
T'?m1g?m1a①m2g?T'?m2a②T?2T' 由①②可求得：
m1 m2
T'?2m1m2g2m1m2g ,T?m1?m2m1?m2a
T'
a
T'
T
所以，天平右端的总重量应该等于T，天平才能保持平衡。
3.5.11棒球质量为0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。
解：由F—t图可知：
m1g
m2g T' T'
当0?t?0.05时，F?t0.05Fmax0.08?t0.03当0.05?t?0.08时，F?由
0.08Fmax
定
理
：
Fmax
F(N)
[斜截式方程y=kx+b，两点式方程 (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)]
动
量
0
0.05 0.08 t(s)
m?v??Fdt??00.05Fmax0.050tdt?0.08Fmax0.030.05?(0.08?t)dt
可求得Fmax = 245N
3.5.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力
98
F(N)
t(s) 20