泰州市2015届高三上学期期末考试(理)数学试题及答案

????????????????????????????????????????DA,CB???ADM,DM?CB?6.由AP?BP?4DP?0得4DP?2PM,2DP?PM,DP?2.?????????????????????????????????1???

由DA?CB?DA?DP得cos?ADM?|DA|?|CB|?DA?DP?cos?ADM?,PQ的最小

3值为DP?sin?ADM?2?【考点】向量数量积 二、解答题

15.(本题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中,角?的终边经过点P(3,4). (1)求sin(??2242?. 33?)的值; 4????????(2)若P关于x轴的对称点为Q,求OP?OQ的值.

【答案】(1)72(2)?7 10【解析】(1)∵角?的终边经过点P(3,4),∴sin??43,cos??,……………4分 55∴sin(???4)?sin?cos?4?cos?sin?42327?????2.……………7分 4525210(2)∵P(3,4)关于x轴的对称点为Q,∴Q(3,?4).………………………………9分

????????????????∴OP?(3,4),OQ?(3,?4),∴OP?OQ?3?3?4?(?4)??7. ……………14分

【考点】三角函数定义,向量数量积

16.(本题满分14分)

如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,EF//AB,

AB?2EF,平面BCF?平面ABCD,BF?CF,点G为BC的中点.

(1)求证:直线OG//平面EFCD; (2)求证:直线AC?平面ODE.

【答案】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴点O是BD的中点,∵点G为BC的中点,由三角形中位线性质得OG//CD,再根据线面平行判定定理得直线OG//平面EFCD.(2)一方面∵四边形ABCD是菱形,∴AC?DO,另一方面∵ BF?CF,点G为BC的中点, ∴FG?BC,由面面垂直性质定理得FG?平面ABCD,从而FG?AC,又可证四边形EFGO为平行四边形,即FG//EO,所以AC?EO,最后由线面垂直判定定理得

AC?平面ODE.

试题解析:证明(1)∵四边形ABCD是菱形,AC?BD?O,∴点O是BD的中点, ∵点G为BC的中点 ∴OG//CD, ………………3分 又∵OG?平面EFCD,CD?平面EFCD,∴直线OG//平面EFCD.………7分

(2)∵ BF?CF,点G为BC的中点, ∴FG?BC, ∵平面BCF?平面ABCD,平面BCF?平面ABCD?BC,

FG?平面BCF,FG?BC ∴FG?平面ABCD, ………………9分

∵AC?平面ABCD ∴FG?AC, ∵OG//AB,OG?11AB,EF//AB,EF?AB,∴OG//EF,OG?EF, 22∴四边形EFGO为平行四边形, ∴FG//EO, ………………11分 ∵FG?AC,FG//EO,∴AC?EO, ∵四边形ABCD是菱形,∴AC?DO, ∵AC?EO,AC?DO,EO?DO?O,EO、DO在平面ODE内,

∴AC?平面ODE. ………………14分 【解析】

【考点】线面平行判定定理,线面垂直判定定理,面面垂直性质定理

17.(本题满分14分)

如图,我市有一个健身公园,由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角

形?PRQ构成,其中O为PQ的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD,按实际需要,四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上,另外两个顶点

A、B在半圆上, AB//CD//PQ,且AB、CD间的距离为1km.设四边形ABCD的周

长为ckm.

(1)若C、D分别为QR、PR的中点,求AB长; (2)求周长c的最大值.

【答案】(1)3(2)26 【解析】(1)解:连结RO并延长分别交AB、CD于M、N,连结OB, ∵C、D分别为QR、PR的中点,PQ?2,∴CD?1PQ?1, 2??PRQ为等腰直角三角形,PQ为斜边,?RO?1PQ?1, 2NO?111RO?.∵MN?1,∴MO?.………………3分

222在Rt?BMO中,BO?1,∴BM?BO2?OM2?3, 2∴AB?2BM?3. ……………6分 (2) 解法1 设?BOM??,0????2.

在Rt?BMO中,BO?1,∴BM?sin?,OM?cos?.

∵MN?1,∴CN?RN?1?ON?OM?cos?,

∴BC?AD?1?(sin??cos?)2,……………………………………………………8分 ∴c?AB?CD?BC?AD?2(sin??cos??1?(sin??cos?)2)………………10分 (当???22(sin??cos?)?(1?(sin??cos?))?26,222?5?或时取等号) 1212∴当???5?或??时,周长c的最大值为26km. …………………14分 1212解法2 以O为原点,PQ为y轴建立平面直角坐标系. 设B(m,n),m,n?0,m2?n2?1,C(m?1,m),

∴AB?2n,CD?2m,BC?AD?1?(m?n)2.……………………………8分 ∴c?AB?CD?BC?AD?2(m?n?1?(m?n)2) ………………………10分

?22(m?n)2?(1?(m?n)2)2?26,

(当m?6?26?26?26?2,n?或m?,n?时取等号) 44446?26?26?26?2,n?或m?,n?时,周长c的最大值为4444∴当m?26km. ……………14分

【考点】直线与圆位置关系,基本不等式求最值

18.(本题满分16分)

2x2y2如图,在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左顶

ab2点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别

与y轴交于M,N两点.若直线PQ斜率为(1)求椭圆C的标准方程;

2时,PQ?23. 2

(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.

x2y2【答案】(1)??1(2)过定点F(?2,0).

42【解析】解:(1)设P(x0,2x0), 2∵直线PQ斜率为

222时,PQ?23,∴x02?(x0)2?3,∴x0?2…………3分

222221ca?b2,∴2∴2?2?1,∵e??a?4,b2?2. ?abaa2x2y2∴椭圆C的标准方程为??1. ………………6分

42(2)以MN为直径的圆过定点F(?2,0).

22x0y022设P(x0,y0),则Q(?x0,?y0),且??1,即x0?2y0?4,

42∵A(?2,0),∴直线PA方程为:y?y02y0(x?2),∴M(0,), x0?2x0?2直线QA方程为:y?y02y0(x?2),∴N(0,), ………………9分 x0?2x0?22y02y0)(y?)?0 x0?2x0?2以MN为直径的圆为(x?0)(x?0)?(y?4x0y04y02y?2?0, ………………12分 即x?y?2x0?4x0?422

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