????????????????????????????????????????DA,CB???ADM,DM?CB?6.由AP?BP?4DP?0得4DP?2PM,2DP?PM,DP?2.?????????????????????????????????1???
由DA?CB?DA?DP得cos?ADM?|DA|?|CB|?DA?DP?cos?ADM?，PQ的最小
3值为DP?sin?ADM?2?【考点】向量数量积 二、解答题
15.（本题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，角?的终边经过点P(3,4)． （１）求sin(??2242?. 33?)的值； 4????????（２）若P关于x轴的对称点为Q，求OP?OQ的值．
【答案】（１）72（２）?7 10【解析】（１）∵角?的终边经过点P(3,4)，∴sin??43,cos??，……………4分 55∴sin(???4)?sin?cos?4?cos?sin?42327?????2．……………7分 4525210（２）∵P(3,4)关于x轴的对称点为Q，∴Q(3,?4)．………………………………9分
????????????????∴OP?(3,4),OQ?(3,?4)，∴OP?OQ?3?3?4?(?4)??7． ……………１４分
【考点】三角函数定义，向量数量积
16.（本题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC,BD相交于点O，EF//AB，
AB?2EF，平面BCF?平面ABCD，BF?CF，点G为BC的中点．
（1）求证：直线OG//平面EFCD； （2）求证：直线AC?平面ODE．
【答案】（１）∵四边形ABCD是菱形，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点，由三角形中位线性质得OG//CD，再根据线面平行判定定理得直线OG//平面EFCD．（２）一方面∵四边形ABCD是菱形，∴AC?DO，另一方面∵ BF?CF，点G为BC的中点, ∴FG?BC,由面面垂直性质定理得FG?平面ABCD，从而FG?AC，又可证四边形EFGO为平行四边形，即FG//EO，所以AC?EO，最后由线面垂直判定定理得
AC?平面ODE．
试题解析：证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC?BD?O，∴点O是BD的中点， ∵点G为BC的中点 ∴OG//CD， ………………3分 又∵OG?平面EFCD，CD?平面EFCD，∴直线OG//平面EFCD．………７分
（２）∵ BF?CF，点G为BC的中点, ∴FG?BC, ∵平面BCF?平面ABCD，平面BCF?平面ABCD?BC，
FG?平面BCF，FG?BC ∴FG?平面ABCD， ………………9分
∵AC?平面ABCD ∴FG?AC, ∵OG//AB,OG?11AB，EF//AB,EF?AB，∴OG//EF,OG?EF， 22∴四边形EFGO为平行四边形, ∴FG//EO， ………………11分 ∵FG?AC，FG//EO，∴AC?EO， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC?DO， ∵AC?EO，AC?DO，EO?DO?O，EO、DO在平面ODE内，
∴AC?平面ODE． ………………1４分 【解析】
【考点】线面平行判定定理，线面垂直判定定理，面面垂直性质定理
17.（本题满分14分）
如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角
形?PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点
A、B在半圆上， AB//CD//PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周
长为ckm．
（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长； （2）求周长c的最大值．
【答案】（１）3（２）26 【解析】（１）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB， ∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ?2，∴CD?1PQ?1， 2??PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，?RO?1PQ?1， 2NO?111RO?．∵MN?1，∴MO?．………………3分
222在Rt?BMO中，BO?1，∴BM?BO2?OM2?3， 2∴AB?2BM?3． ……………6分 （２） 解法１ 设?BOM??，0????2．
在Rt?BMO中，BO?1，∴BM?sin?，OM?cos?．
∵MN?1，∴CN?RN?1?ON?OM?cos?，
∴BC?AD?1?(sin??cos?)2，……………………………………………………8分 ∴c?AB?CD?BC?AD?2(sin??cos??1?(sin??cos?)2)………………10分 （当???22(sin??cos?)?(1?(sin??cos?))?26，222?5?或时取等号） 1212∴当???5?或??时，周长c的最大值为26km． …………………14分 1212解法２ 以O为原点，PQ为y轴建立平面直角坐标系． 设B(m,n)，m,n?0，m2?n2?1，C(m?1,m)，
∴AB?2n，CD?2m，BC?AD?1?(m?n)2．……………………………8分 ∴c?AB?CD?BC?AD?2(m?n?1?(m?n)2) ………………………10分
?22(m?n)2?(1?(m?n)2)2?26，
（当m?6?26?26?26?2，n?或m?，n?时取等号） 44446?26?26?26?2，n?或m?，n?时，周长c的最大值为4444∴当m?26km． ……………１４分
【考点】直线与圆位置关系，基本不等式求最值
18.（本题满分16分）
2x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左顶
ab2点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P,Q两点，直线PA,QA分别
与y轴交于M,N两点．若直线PQ斜率为（1）求椭圆C的标准方程；
2时，PQ?23． 2
（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．
x2y2【答案】（１）??1（２）过定点F(?2,0)．
42【解析】解：（1）设P(x0,2x0)， 2∵直线PQ斜率为
222时，PQ?23，∴x02?(x0)2?3，∴x0?2…………３分
222221ca?b2，∴2∴2?2?1，∵e??a?4,b2?2． ?abaa2x2y2∴椭圆C的标准方程为??1． ………………６分
42（２）以MN为直径的圆过定点F(?2,0)．
22x0y022设P(x0,y0)，则Q(?x0,?y0)，且??1，即x0?2y0?4，
42∵A(?2,0)，∴直线PA方程为：y?y02y0(x?2)，∴M(0,)， x0?2x0?2直线QA方程为：y?y02y0(x?2)，∴N(0,)， ………………９分 x0?2x0?22y02y0)(y?)?0 x0?2x0?2以MN为直径的圆为(x?0)(x?0)?(y?4x0y04y02y?2?0， ………………12分 即x?y?2x0?4x0?422