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3.2 简单的三角恒等变换
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.(重点)
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理 半角公式
阅读教材P139～P140例2以上内容，完成下列问题. α
sin＝±
2α
cos＝±
2α
tan＝±
2
1－cos α
， 21＋cos α
， 21－cos α
，
1＋cos α
αααsin sin·2cos222αsin α
tan＝＝＝，
2ααα1＋cos α
coscos·2cos
222αααsinsin·2sin2221－cos αα
tan＝＝＝.
2αααsin α
coscos·2sin222
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) α
(1)cos ＝2
1＋cos α
.( ) 2
α1
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.( )
22
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α1
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立.( )
22α
(4)若α是第一象限角，则tan ＝2
1－cos α
.( )
1＋cos α
παπ
【解析】 (1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋
222α
4kπ(k∈Z)时，cos ＝
2
1＋cos α
. 2
(2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立. (3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立. αα
(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan ＝
22【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
1－cos α
成立.
1＋cos α
[小组合作型]
化简求值问题
3θ
(1)已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan ；
52
＋sin α＋cos α
(2)化简：
?sin α－cos α??22???
2＋2cos α
(180°<α<360°).
3θ
【精彩点拨】 (1)①cos θ＝－→tan ＝
52±
1－cos θθ
→tan 的值；
1＋cos θ2
θsin θ?3θ1－cos θ?θ
或tan ＝②cos θ＝－→tan ＝→tan 的值. ??21＋cos θ?52sin θ?2对于(1)的思考要注意符号的选择.
αα
(2)化α为，消去数值1，再升幂判断的范围，然后化简得结论.
22
θθ
【自主解答】 (1)法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，
22
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∴tan <0，
2
θ
∴tan ＝－
21－cos θ
＝－
1＋cos θ
?3?1－?－??5?
＝－2. 3??1＋?－??5?
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cosθ＝－
2
941－＝－， 255
?3?1－?－?θ1－cos θ?5?∴tan ＝＝＝－2.
2sin θ4
－5
(2)原式
＝
?2cos2α＋2sin αcos α??sin α－cos α???222?22?????
2α
2·2cos
2
αα??αα?α?2cos ?cos ＋sin ??sin －cos ?22??22?2?＝
α??2?cos ?2??α
cos
2
－cos α
. ＝
?cos α??2???
αα
∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos <0，
22α
cos －cos α
2
∴原式＝α－cos
2
＝cos α.
1.解决给值求值问题的方法及思路
(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.
(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.
2.三角函数化简的思路及原则：
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