（2）连接AC，BD，交于点O，连接EO并延长，交AD于F，连接CF，则△AOF≌△COE，所以AF=CE，再由AF∥CE，可得四边形AECF是平行四边形，由AE=CE，可得平行四边形AECF为菱形． 【详解】
(1)图1中AC为所作，如图1所示； (2)图2中菱形AECF为所作，如图2所示．
图1 图2 【点睛】
本题为作图题，主要考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，及菱形的判定，熟练掌握等边对等角，平行线的性质定理，及菱形的判定定理是解决此题的关键． 23．
2. 2【解析】 【分析】
利用分式的运算法则，先做括号里的加法，并把二次多项式分解因式，然后把除法转化为乘法，进行约分化简。再把a的值求出代入化简后的式子中求出答案。 【详解】
(a?1)(a?1)2a?a2?1?解：原式=?，
a(a?1)a??(a?1)(a?1)a?，
a(a?1)(a?1)21， a?12?1 2a?2sin45??1?2??2?1
∴原式=?【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键。 24．（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径OA＝5． 【解析】 【分析】
12. ?22?1?1（1）由圆周角定理得出∠AEB＝∠ADB＝90°，得出AE⊥BC，由等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，证出∠BAE＝∠CBF，证出∠ABF＝90°，得出BF⊥OB，即可得出结论； （2）证出∠DBC＝∠BAE，证明△BDC∽△ABG，得出
BCBD?，即可得出结论； AGAB1 2（3）由（2）得：∠DBC＝∠CBF，由角平分线性质得出
BDCD4??，设BD＝4x，则BF＝5x，由勾股定BFCF5理得：DF＝BF2?BD2 ＝3x，证明△ABD∽△BFD，得出出CD＝AC﹣AD＝⊙O的半径． 【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠ADB＝90°， ∴AE⊥BC，∠ABE+∠BAE＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠BAE＝∠CAE＝∵∠CBF＝
2016ABBDAD??，求出AB＝x，AD＝x，得BFDFBD3343x，在Rt△BDC中，由勾股定理得出方程，解方程得x＝ ，得出AB＝10，即可得出321∠BAC， 21∠BAC， 2∴∠BAE＝∠CBF， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， ∴∠ABF＝90°， ∴BF⊥OB， ∴BF为⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DBC＝∠CAE，∠BAE＝∠CAE， ∴∠DBC＝∠BAE， ∵∠BDC＝90°＝∠ABG， ∴△BDC∽△ABG， ∴
BCBD?， AGAB∴AB?BC＝BD?AG， ∵AB＝AC， ∴AC?BC＝BD?AG；
（3）解：由（2）得：∠DBC＝∠CBF， ∴
BDCD4??， BFCF5设BD＝4x，则BF＝5x，
由勾股定理得：DF＝BF2?BD2＝3x， ∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD+∠F＝90°， ∴∠ABD＝∠F，
∵∠ADB＝∠BDF＝90°， ∴△ABD∽△BFD， ∴
ABBDADABBDAD????，即， BFDFBD5x3x4x2016x，AD＝x， 3320∴AC＝AB＝x，
34∴CD＝AC﹣AD＝x，
3解得：AB＝
在Rt△BDC中，由勾股定理得：（4x）+（解得：x＝∴AB
2
422
x）＝（210 ）， 33 ， 220x＝10， 3∴⊙O的半径OA＝5． 【点睛】
此题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形，勾股定理，解题关键在于得出∠AEB＝∠ADB＝90° 25．（1）乙种图书每本价格为20元；（2）该图书馆最多可以购买10本甲种图书． 【解析】 【分析】
（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得乙种图书每本的价格；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得该图书馆最多可以购买多少本甲种图书． 【详解】
（1）设乙种图书每本价格为x元，则甲种图书每本价格为2.5x元，
800800?24?， 2.5xx解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解， 答：乙种图书每本价格为20元；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（2a+8）本， 由（1）知乙种图书每本20元，则甲种图书每本50元， 50a+20（2a+8）≤1060， 解得，a≤10，
答：该图书馆最多可以购买10本甲种图书． 【点睛】
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，注意分式方程要检验．