2019年
第3节 圆的方程
最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
知 识 梳 理
1.圆的定义和圆的方程
定义 标准 方 程 一般 (D＋E－4F＞0) 222平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 圆心C(a，b) (x－a)＋(y－b)＝r(r＞0) 半径为r 充要条件：D＋E－4F＞0 2222x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心坐标：?－，－? 2??2122半径r＝D＋E－4F 2?DE?2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)＋(y－b)＝r之间存在着下列关系： (1)d＞r?M在圆外，即(x0－a)＋(y0－b)＞r?M在圆外；
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(2)d＝r?M在圆上，即(x0－a)＋(y0－b)＝r?M在圆上；
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(3)d＜r?M在圆内，即(x0－a)＋(y0－b)＜r?M在圆内. 2
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[常用结论与微点提醒]
1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x＋y＝r.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程x＋y＝a表示半径为a的圆.( ) (3)方程x＋y＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( )
(4)方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D＋E－4AF>0.( ) 解析 (2)当a＝0时，x＋y＝a表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆. 122
(3)当(4m)＋(－2)－4×5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆.
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答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.若点(1，1)在圆(x－a)＋(y＋a)＝4的内部，则实数a的取值范围是( ) A.(－1，1)
B.(0，1) D.a＝±1
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C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)＋(1＋a)<4，所以－1 3.(2018·长春质检)圆(x－2)＋y＝4关于直线y＝A.(x－3)＋(y－1)＝4 B.(x－2)＋(y－2)＝4 C.x＋(y－2)＝4 D.(x－1)＋(y－3)＝4 解析 圆(x－2)＋y＝4的圆心(2，0)关于直线y＝＋(y－3)＝4. 答案 D 4.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程ax＋(a＋2)y＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 解析 由已知方程表示圆，则a＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a＝－1时，原方程为x＋y＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)＋(y＋4)＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (－2，－4) 5 5.(教材习题改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________. 解析 设圆心坐标为C(a，0)， ∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|，即（a＋1）＋1＝（a－1）＋9， 解得a＝2，所以圆心为C(2，0)， 半径|CA|＝（2＋1）＋1＝10， 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 3 x对称的圆的方程是( ) 3 3 x对称的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x－1)23 2019年 ∴圆C的方程为(x－2)＋y＝10. 答案 (x－2)＋y＝10 考点一 圆的方程 【例1】 (1)(一题多解)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________. (2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________. 解析 (1)法一 由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.① 过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，② ??x＝3，22 联立①②，解得?所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝（4－3）＋（1－0）＝2， ?y＝0，? 2 2 22 所以圆C的方程为(x－3)＋y＝2. 法二 设圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r(r＞0)， ??（4－a）＋（1－b）＝r， ∵点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故? 222 ?（2－a）＋（1－b）＝r，? 2 2 2 2 2 2 22 又∵ b－1 ＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝2， a－2 2 2 故所求圆的方程为(x－3)＋y＝2. (2)设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)， 将P，Q两点的坐标分别代入得 ??2D－4E－F＝20，? ?3D－E＋F＝－10.? 2 2 2 2 2 2 ①② 又令y＝0，得x＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6，得D－4F＝36，④ 联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0. 答案 (1)(x－3)＋y＝2 (2)x＋y－2x－4y－8＝0或x＋y－6x－8y＝0 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； 2 2 2 2 2 2