已知函数表
例 1、
x -1 1 2
f (x) -3 0 4 求
f (x) 的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解： （1） 由题可知
xk -1 1 2
yk -3 0 4
插值基函数分别为
?x?x1??x?x2?l??x0 (x) ?
?1??x ? 2? ? 1 ? ?? ?
?x0 ? x1 ??x0 ? x2 ? ??1 ?1???1 ? 2? 6
l1(x) ? ?x ? x0 ??x ? x2 ?x ? x? ?x ? 1? ??x ? 2? ? 1??1 ? 2? ? 1 2
?x ? 1??x ? 2? 1 ?0 ??x1 ? x2 ? ?1 ?x?1??x?1?1 l2 (x) ? ?x ? x0 ??x ? x1 ? ? ? x ?1 x ? 1
?x2 ? x0 ??x2 ? x 1 ? ?2 ? 1??2 ?1? 3 ? ?? ?
故所求二次拉格朗日插值多项式为
L2
2 (x) ? ? yklk ?x? k
?0 ? ?3? 1 ?x ?12 ???x 3
? 2?? 0 ? ??? 1 ?x ? 1??x ? 2??? ? 4 ?1 ?x ? 1??x ?16 ??? ? 1 2 ?x ?1??x ? 2?? 4 3? x ? 1??x ?1? ? 5 6 x2 ? 3 7 2 x3
? （2）一阶均差、二阶均差分别为
f ?xf ?x0 ?? f ?x1 ? ?3 0 , x1?? xx? ? 0 ?1?
3
0 ? 1 ?1 2 f ?x1, x2 ?? f ?x1 ?? f ?x2 ? 0 ? 4
x? ? 2
4 1 ? x2 1 ? f ?x, xf ?x3
0 , x1?? f ?x1, x? 4 0 1, x2 ?? 2 ?
5
xx? ? 2 ?
02 ?1 ? 2 6
1
均差表为
xk f (xk ) 一阶 二阶
-1 -3 1 0 3/2 2 4 4 5/6
故所求Newton二次插值多项式为
P
2 ?x? ? f ?x0 ?? f ?x0 , x1??x ? x0 ?? f ?x0 , x1, x2 ??x ? x0 ??x ? x1 ? ? ?3 ? 3 2 ?x ? 1?? 5
6?
x ? 1??x ?1?
? 5 2 3 x ? 7
6
x ? 2 3 2 ? 3x ? 2 ， x ?[0,1] ，试求 f (x) 在[0,
例 2、 设 f (x) ? x
? ? span?1, x?的最佳平方逼近多项式。
解：
若 ? ? span?1, x?，则?0 (x) ? 1 ，?1(x) ? x ，且 ? (x) ? 1 ，这样，有
?1
?0 ,?0 ? ? ?1dx ? 1,
?1
?1,1
0
1? 1 ? ? ?0? fx2dx ,? ?0 ? 3 ? ?1 ?x2 ? 3x ? 2dx?23 ?
2 1
? 6
??0 ,?1 ? ? ??1 ?,?02 ??
f ,? 1 ? ? ? xx ? ? 3 0?x xdx?2 ?dx ,
? 0 1
9 0
4 所以，法方程为?? 1 ?? 1 ? ? ? ? ? ?，经过消元得?
?1 ?? ? 239 ? ?? ?? ? ?? 1 ?
?a0 ? ? 6 ?0 ? ? ? 2 1 ? ? ? ? ? 1
? 1 ? ? a1 ? ? ?
2 3 ? ? 4 ? ?
11 6 再回代解该方程，得到
a1 ? 4 ， a0 ? ?
? a
1
上关于 ? (x) ? 1 ，
1]
1 ? ? 23?
2 ? ?a0 ? ? 6 ? ? ? 3 ? 21
故，所求最佳平方逼近多项式为 S1 (x) ? 11 ? 4x
6
x
佳平方逼近多项式。
解：
若 ? ? span?1, x?，则?0 (x) ? 1 ，?1(x) ? x ，这样，有
例 3、设 f (x) ? e ，? ? ?
*
x ?[0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于? (x) ? 1 ，2
? ? span?1, x?的最