5?．螺绕环中心周长l?10cm，环上均匀密绕N?200匝线圈，线圈中通有电流I?100mA。求(1)管内的磁场强度H0和磁感应强度B0；(2)管内充满相对磁导率?r?4000的磁介质时，管内的磁场强度H和磁感应强度B。
N200I??0.1?200(A/m) l0.1管内的磁感应强度B0??0H0?4π?10?7?200?2.5?10?4(T)
5．解：(1)管内的磁场强度H0?nI?(2)管内的磁场强度H?H0?200(A/m);
管内的磁感应强度B??r?0H0??rB0?4000?2.5?10?4?1.0(T)
6?．充满磁介质的螺绕环均匀密绕线圈共400匝，环的平均周长是40cm，当导线内通有电流20A时，利用冲击电流计测得环内磁感应强度是1.0T。求(1)环内磁场强度和磁化强度；(2)环内介质的相对磁导率；(3)介质表面的磁化电流。
N400I??20?2?104(A/m) l0.4B1.045环内磁化强度M??H??2?10?7.76?10(A/m) ?7?04π?10B1.0(2)环内介质的相对磁导率?r???39.8
?0H4π?10?7?2?1046．解：(1)环内磁场强度H?nI?(3)介质表面的磁化电流Is??sl?Ml?7.76?105?0.4?3.1?105(A)
练习 十一 知识点：楞次定律、法拉第电磁感应定律、动生电动势、感生电动势、感生电场 一、选择题
1．闭合导线圆环在均匀磁场中运动，能使圆环中产生感应电流的是 ( ) (A) 圆环以自身直径为轴转动，轴与磁场方向平行； (B) 圆环以自身直径为轴转动，轴与磁场方向垂直； (C) 圆环平面垂直于磁场，圆环沿垂直于磁场方向平移； (D) 圆环平面平行于磁场，圆环沿垂直于磁场方向平移。
????解：(B), (A)、(C)、(D)三种情况下,穿过环面的磁通量不变。
2．闭合导线圆环一半处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于圆环平面指向纸内，如图所????示。此时，欲使圆环中产生逆时针方向的感应电流，应使圆环 ( ) ???? (A) 向右平移； (B) 向上平移； (C) 向左平移； (D) 向下平移。 解：(C),取顺时针方向为回路绕行方向,?>0, 圆环向左平移, ?增大,根据楞次定律,圆环中产生逆时针方向的感应电流
??3．长度为l的直导线ab在匀强磁场B中以速度?平动，速度方向、磁场方向与直导线在同一平面内，速度方向与磁场方向的夹角为?，则直导线ab中的电动势为 ( )
a (A) Bl?； (B) Bl?sin?； (C) Bl?cos?； (D) 0。
b????B解：(D),运动导线不切割磁力线
?4．金属棒ab在匀强磁场中，绕通过c点且垂直于棒的轴转动。磁场方向平行于转轴，o是
B棒的中点，如图所示。则 ( )
ao(A) a点比b点电势高； (B) a点与b点电势相等；
(C) a点比b点电势低； (D) 有稳恒电流从a点流向b点。 解：(C),?1??cb?ac??b????(v?B)?dl,方向由a指向O点; ?2??(v?B)?dl,方向由b指向O点
c5．如图所示，导线ab在均匀磁场中作下列四种运动，(1)垂直于磁场作平动；(2)绕固定端a作垂直于磁场转动；(3)绕其中心点o作垂直于磁场转动；(4)绕通过中心点o的水平轴作平行bbbb于磁场的转动。关于导线ab的感应电动势哪个结论是错误的？ ( ) oo(A) (1)有感应电动势，a端为高电势；(B) (2)有感应电动势，b端为高电势；
aaaa(C) (3)无感应电动势； (D) (4)无感应电动势。
(1) (2) (3) (4) 6
???解:(B)?i??v?B?dl.平动杆上各点速度相同,感应电动势大小?i?vBl,方向由b指向a;绕a端转动杆上
L12l?B,方向由b指向a;绕中点O转动杆上各点速度不?02l/212同,Ob、Oa上感应电动势大小均为?i??x?Bdx?l?B,方向由b、a指向O,总感应电动势为零;杆不
08各点速度不同,感应电动势大小?i?lx?Bdx?切割磁力线无感应电动势
6?．如图所示，有一边长为1m的立方体，处于沿y轴指向的强度为0.2T的均匀磁场中，导线a、b、c都以0.5m/s的速度沿图中所示方向运动，则 ( ) zb(A)导线a内等效非静电性场强的大小为0.1V/m；
?(B)导线b内等效非静电性场强的大小为0； Bc(C)导线c内等效非静电性场强的大小为0.2V/m；
ay(D)导线c内等效非静电性场强的大小为0.1V/m。 解: (D)非静电性场强Ek?v?B,对C杆v?B,E?vB?0.2?0.5?0.1V/m
?????x二、填空题
1．引起动生电动势的非静电力是 力，引起感生电动势的非静电力是 力。感生电场是由 产生的，它的电场线是 线。解:洛伦兹;感生电场;变化的磁场,闭合曲线
2．电阻为R、半径为a的导线圆环置于匀强磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。若使圆环中有稳定的感
dBIR1d??a2dB? 。解:2,I????应电流I，则磁感应强度大小随时间的变化率
?adtRdtRdt??3．一根直导线在磁感应强度为B的均匀磁场中以速度?运动，导线中的动生电动势对应的非静电性场强????Ek? 。解:非静电性场强Ek?v?B
4．直导线在垂直于均匀磁场的平面内匀速转动，转轴位于导线上。当转轴位于导线的 点位置时，整个导线上的电动势为最大；当转轴位于导线的 点位置时，整个导线上的电动势为零。
?????????解:端点?i??v?B?dl;中点?i??v?B?dl??v?B?dl?0;
LL/2L/2?I?5．如图所示，通有电流I的无限长直导线旁放置一段长度为l的直导线ab，两导线共面
?ab且相互垂直，a端与无限长直导线的距离为r。当导线ab以速度?沿电流的平行方向运
lr动时，导线ab两端的电势差Uab? 。
??r?Iva??Ivr?l?Ivr?l解:?i??v?B?dl???0dx?0ln,方向由b指向a, Uab?0ln
br?l2?x2?r2?r?
6．将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有q的电量通过电流计。若连接电流计的电路总电
1d?1dt?d?,???Rq 阻为R，则穿过金属环的磁通的变化??? 。解:dq?idt?RdtR三、计算题
1．长度均为L的两个同轴长直螺线管，大管套着小管，匝数分别为N1和N2，半径分别为a和
b(L??a,a?b)，小螺线管导线中通有交变电流i?I0sin?t，求：（1）小螺线管中磁感应强度表达式；
（2）大螺线管中的感应电动势。
1．解：根据安培环路定理，可知小螺线管内磁感应强度大小为:Bb??0通过大螺线管线圈横截面积的磁通量为:?a?Bb?Sb??0通过大螺线管的磁链为:?a?N1?a??0N2I0sin?t Ll??N22?bI0sin?t LN1N22II?bI0sin?t
2bL2ad?aNN???012?b2I0?cos?t 大螺线管中的感应电动势为:?a??dtL?
2．在两根平行放置相距2a的无限长直导线之间，有一与其共面的矩形线圈，线圈边长分别为l和2b，
?且l边与长直导线平行。两根长直导线中通有等值同向稳恒电流I，线圈以恒定速度?在导线平面内垂直
7
于直导线向右运动(如图所示)。求：线圈运动到两导线的中心位置(即线圈的中心线与两根导线距离均为a)时，线圈中的感应电动势。
2．解：图示位置时，两根无限长直导线的电流在矩形线圈左边处产生的磁感应强度大小为:
11?),方向垂直于纸面向里。
2πa?ba?b?I11?)方向沿左边向上。 在矩形线圈左边中的电动势大小为 ?1?B1l??l?0(2πa?ba?bB1?(同样可以求得，在矩形线圈右边中的电动势大小与左边中的相等，方向沿右边向下。另外两边中没有感应电动势。所以，线圈中的感应电动势大小为
?0I??2?1?2l??0I11?),方向沿顺时针方向。
2πa?ba?b(3．在半径为R的无限长直圆柱形空间内，存在磁感应强度为B的均匀磁场，磁场方向平行于圆柱轴线（垂直于纸面向里），如图所示。在垂直于圆柱轴线的平面内有一根无限长直导线，直导线与圆柱轴线相距为d，且d?R，已知
?dB?k，k为正的常量，求长直导线中的感应电动势的大小和方向。 dt??3．解：由场的对称性，变化磁场所激发的感生电场的电力线在圆柱内外都是与圆柱同轴的同心圆.设想用
12???RB. 假想导线与原导线构成无限长矩形闭合回路,穿过回路的磁通量为m2根据法拉第电磁感应定律
????i??dΦ1dB1???R2???R2k dt2dt2?E?0?E?o???R??d??i??o1B根据楞次定律可知感生电动势方向水平向右.
4?．一根长为L的金属细杆ab绕垂直于金属杆的竖直轴o1o2以角速度?在水平面内旋转，转动方向与竖直向上方向成右手螺旋关系，如图所示。o1o2在离细杆a端4L/5ab?处。若已知地磁场在竖直向上的分量为B。求ab两端间的电势差Ua?Ub。
4L/5o24．解：ob段中的动生电动势为
??L/5?L/5L/51?1??(??B)?dl???Bdl???Bldl??BL2 感应电动势方向o?b。
00050??164L/5?(??B)?dl??BL2,感应电动势方向o?a。 同样可以求得，oa段中的动生电动势为 ?2??0501163ab杆中的动生电动势为 ???1??2??BL2??BL2???BL2,感应电动势方向b?a。
5050103ab两端间的电势差Ua?Ub?????BL2
105．两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的电流I，电流变化率dI/dt???0。边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示。求线圈中的感应电动势。
?II5．解：载流无限长直导线距离为r处的磁感应强度大小为0。以顺时针方向为线圈2πrd回路的绕向，较远导线中的电流在线圈中产生的磁通量为
?1??3d2d3d?dr?ln 2πr2π2?0I?0IdId较近导线中的电流在线圈中产生的磁通量为 ?2?总磁通量为???1??2???2dd?d??0I2πrdr???0Id2πln2
4ln 2π3d??0d4dI?d4?(ln)?0?ln,方向为顺时针。 感应电动势为???dt2π3dt2π3
8
?0Id6．如图所示，无限长直导线AB中通有电流i，矩形导线框abcd与长直导线共面，且ad与AB平行，dc?边固定，ab边沿da及cb以速度?无摩擦地匀速平动，设线框自感忽略不计，（1）如i?I0（I0为常量），求ab中的感应电动势，ab两点哪点电势高？（2）如i?I0sin?t，求线框中的总感应电动势。 6．解：以abcda作为回路的绕向，任意时刻t时，矩形导线框的磁通量为
???Bl2dr??l0?l1?0il2l0l?ldr?ln01 2πr2πl0?0il2A?ia?b（1）如i?I0时，ab中的感应电动势等于线框中的感应电动势，即
?Idll?l?Il?ld??????002ln01??00?ln01,
dt2πdtl02πl0ab中电动势方向b?a，a两点电势高。
?lIsin?tl0?l1（2）i?I0sin(?t)，矩形导线框的磁通量为 ??020 ln2πl0?Il?ld?线框中的感应电动势为 ?????00ln01(?sin?t?l2?cos?t)
dt2πl0
l2dcBl0l1练习 十二 知识点：自感、互感、磁场能量、位移电流、麦克斯韦方程组 一、选择题
1?．对于单匝线圈取自感系数的定义式为L??/I。当线圈的几何形状、大小及周围磁介质分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数 ( ) (A) 变小； (B) 变大，与电流成反比关系；
(C) 不变； (D) 变大，但与电流不成反比关系。解:(C) 2?．一空芯的长直螺线管,在保持其半径和总匝数不变的情况下,把螺线管拉长一些,则它的自感系数将( ) (A) 增大； (B) 减小； (C) 不变； (D) 无法确定其变化。解:(B) 3．用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式Wm?12LI ( ) 2 (A) 只适用于单匝圆线圈； (C) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺绕环； (B) 只适用于无限长密绕螺线管； (D) 适用于自感系数L一定的任意线圈。解:(D)
4．如图所示，两个圆环形导体a、b互相垂直地放置，且圆心重合，当它们的电流I1和I2同时发生变化时，则 ( ) I1a (A)a导体产生自感电流，b导体产生互感电流；
bI2 (B)b导体产生自感电流，a导体产生互感电流； (C)两导体同时产生自感电流和互感电流；
(D)两导体只产生自感电流，不产生互感电流。
解: (D)一个圆形环导体中的电流产生的磁力线不能穿过另一个圆形环导体,不会产生互感电流 5?．下列哪种情况的位移电流为零？ ( ) (A)电场不随时间而变化；(B)电场随时间而变化；
(C)交流电路； (D)在接通直流电路的瞬时。解:(A) 二、填空题
1．一自感线圈中，电流强度在0.002s内均匀地由10A增加到12A，此过程中线圈内自感电动势为40V，
di?i??L dt?t2．如图所示，有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴oo?上，则直导线与矩形线圈间的互感系数为 。
则线圈的自感系数为L? 。解:0.040H,?i??L解:0,通过矩形线圈的全磁通为????
b/20oBldx??b/20Bldx?0,互感系数M?N?/I?0
o?3．一根长为l的直螺线管，截面积为S，线圈匝数为N，管内充满磁导率为?的均匀磁介质，则该螺线
9
管的自感系数L? ；线圈中通过电流I时，管内的磁感应强度的大小B? 。
??解:用?H?dl??I可求得螺线管内磁场强度H?NI/l,B??H??NI/l
Li?N?m?N?NIlS??N2IlS,L??N2Sl,B??NI/l
4?．真空中一根无限长细直导线中通有电流I，则距导线垂直距离为a的某点的磁能密度wm = 解:wm?B2/(2?0)?(?0I/2?a)2/(2?0)??0I2/8?2a2
5?．麦克斯韦关于电磁场理论的两个基本假设是 ； 。 解: (1)变化的磁场激发电场(感生电场); (2)变化的电场将产生磁场(位移电流概念) 6?．写出麦克斯韦方程组的积分形式：
; ; ; .
??????B?解:??SD?dS??V?dV，??LE?dl???S?t?dS??????D????SB?dS?0，??LH?dl??S(J??t)?dS
三、计算题
1．截面半径为a的空芯环形螺线管，在环上用表面绝缘的导线均匀地密绕了两个线圈，匝数分别为N1和
N2，环中心线的半径为R(R??a)。求两个线圈的互感系数。
1．解：设N1匝线圈中电流为I1，它在环中产生的磁感强度为 B1??0n1I1??0N1I1 2πRN1?12?0N1N2a22I1πa;两线圈的互感为 M??通过N2匝线圈的磁通链数为 ?12?N2B1S?N2?0 2πRI12R22．一圆形线圈A由50匝细线绕成，其面积为4cm，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈B的中心，两线圈同轴，设B线圈中的电流在A线圈所在处激发的磁场可看作均匀的。求 (1)两线圈的互感；(2)当B线圈中的电流以50A/s的变化率减小时，A线圈中的感生电动势。
?NI2． 解：(1)设B线圈中的电流为I，B线圈在圆心激发的磁感应强度为B0?0B
2R?NIA线圈的磁通量为?m?NAB0SA?0BNASA
2R?m?0NB4π?10?7?100?NASA??50?4?10?4?6.28?10?4H 两线圈的互感为 M?I2R2?0.2dI??6.28?10?4?(?50)?3.14?10?4V (2)A线圈中的感生电动势为 ?i??Mdt?
3．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝，求此螺绕环的自感。
?NI3．解：设螺绕环线圈中通有电流为I，离环中心r处的磁感应强度为B?0
2πrR2?NI?0N2IhR20drr螺绕环的磁通链数为?m?N?BdS?N?hdr?ln hSR12πr2?R1R2R1?m?0N2hR2螺绕环的自感L??ln
I2πR14．矩形线圈长l?0.20m，宽b?0.10m，由N?100匝导线绕成，放置在无限长直导bb线旁边，并和直导线在同一平面内。该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部分离线圈很远，其影响可略去不计。求线圈与长直导线之间的互感。 4．解：设无限长直导线通有电流I。离直导线r处的磁感应强度为B?通过矩形线圈的磁通链为 ?m?N?0I2πrI
rdrl?SB?dS?N?2b?0I2πrbl?dr?N?0I2πlln2
10