大学物理第六章课后习题答案

高斯面内的电荷分布,解得各区域内的电场分布为 r <R1时, E1?r??0

q

4πε0r2Q?qr>R2 时, E2?r?? 24πε0rR1<r<R2 时,E2?r??由电场强度与电势的积分关系,可得各相应区域内的电势分布. r <R1时,

V1??E?dl??E1?dl??E2?dl??E3?dl?rrR1R2?R1R2?qQ ?4πε0R14πε0R2R1<r<R2 时,

V2??E?dl??E2?dl??E3?dl?rrR2?R2?qQ ?4πε0r4πε0R2r>R2 时,

V3??E3?dl?r?q?Q 4πε0r也可以从球面电势的叠加求电势的分布.在导体球内(r <R1)

V1?qQ ?4πε0R14πε0R2qQ ?4πε0r4πε0R2q?Q 4πε0r在导体球和球壳之间(R1<r<R2 )

V2?在球壳外(r>R2)

V3?由题意

V1?V0?得

qQ?

4πε0R24πε0R1qQ?

4πε0R24πε0R1V1?V0?代入电场、电势的分布得

r <R1时,

E1?0;V1?V0

R1<r<R2 时,

E2?r>R2 时,

R1V0R1QR1V0(r?R1)Q; ?V??2r24πε0R2r2r4πε0R2rE3?R1V0(R2?R1)QR1V0(R2?R1)Q; ?V??322r4πε0R2rr4πε0R2r6 -9 在一半径为R1 =6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B.已知球壳B 的内、外半径分别为R2=8.0 cm,R3 =10.0 cm.设球A 带有总电荷QA =3.0 ×10

-8

C,球壳B 带有总电荷QB =2.0×10

-8

C.(1) 求

球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势;(2) 将球壳B 接地然后断开,再把金属球A 接地,求金属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势.

分析 (1) 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律,电荷QA均匀分布在球A 表面,球壳B 内表面带电荷-QA ,外表面带电荷QB +QA ,电荷在导体表面均匀分布[图(a)],由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势.(2) 导体接地,表明导体与大地等电势(大地电势通常取为零).球壳B 接地后,外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和,球壳内表面带电-QA [图(b)].断开球壳B 的接地后,再将球A 接地,此时球A 的电势为零.电势的变化必将引起电荷的重新分布,以保持导体的静电平衡.不失一般性可设此时球A 带电qA ,根据静电平衡时

导体上电荷的分布规律,可知球壳B 内表面感应-qA,外表面带电qA -QA [图(c)].此时球A 的电势可表示为

VA?qA?qAq?QA??A?0

4πε0R14πε0R24πε0R3由VA =0 可解出球A 所带的电荷qA ,再由带电球面电势的叠加,可求出球A 和球壳B 的电势.

解 (1) 由分析可知,球A 的外表面带电3.0 ×10电-3.0 ×10

-8

-8

C,球壳B 内表面带

C,外表面带电5.0 ×10

-8

C.由电势的叠加,球A 和球壳B 的

电势分别为

VA?qA?QAQ?QA??A?5.6?103V

4πε0R14πε0R24πε0R3Q?QBVB?A?4.5?103V

4πε0R3(2) 将球壳B 接地后断开,再把球A 接地,设球A 带电qA ,球A 和球壳B的电势为

VA?qA?qA?QA?qA???0

4πε0R14πε0R24πε0R3?QA?qA VB?4πε0R3R1R2QA?2.12?10?8C

R1R2?R2R3?R1R3-8

解得

qA?即球A 外表面带电2.12 ×10×10

-8

C,由分析可推得球壳B 内表面带电-2.12

-8

C,外表面带电-0.9 ×10C.另外球A 和球壳B 的电势分别为

VA?0

VB??7.29?102V

导体的接地使各导体的电势分布发生变化,打破了原有的静电平衡,导体表 面的电荷将重新分布,以建立新的静电平衡.

6 -10 两块带电量分别为Q1 、Q2 的导体平板平行相对放置(如图所示),假设导体平板面积为S,两块导体平板间距为d,并且S >>d.试证明(1) 相向的两面电荷面密度大小相等符号相反;(2) 相背的两面电荷面密度大

小相等符号相同.

分析 导体平板间距d << S,忽略边缘效应,导体板近似可以当作无限大带电平板处理。取如图(b)所示的圆柱面为高斯面,高斯面的侧面与电场强度E 平行,电场强度通量为零;高斯面的两个端面在导体内部,因导体内电场强度为零,因而电场强度通量也为零,由高斯定理

?E?dS??q/ε得 ?q?0

S0?0

上式表明处于静电平衡的平行导体板,相对两个面带等量异号电荷.再利用叠加原理,导体板上四个带电面在导体内任意一点激发的合电场强度必须为零,因而平行导体板外侧两个面带等量同号电荷.

证明 (1) 设两块导体平板表面的电荷面密度分别为ζ1、ζ2、ζ3、ζ4 ,取如图(b)所示的圆柱面为高斯面,高斯面由侧面S1和两个端面S2、S3构成,由分析可知

?E?dS??q/εS0?0

?q?ζΔS?ζΔS?0,23ζ2?ζ3?0

相向的两面电荷面密度大小相等符号相反.

(2) 由电场的叠加原理,取水平向右为参考正方向,导体内P 点的电场强度为

ζ1ζζζ?2?3?4?0,ζ1?ζ4?0 2ε02ε02ε02ε0相背的两面电荷面密度大小相等符号相同.

6 -11 将带电量为Q 的导体板A 从远处移至不带电的导体板B 附近,如 图(a)所示,两导体板几何形状完全相同,面积均为S,移近后两导体板距离为d(d?S).

(1) 忽略边缘效应求两导体板间的电势差; (2) 若将B 接地,结果又将如何?

分析 由习题6 -10 可知,导体板达到静电平衡时,相对两个面带等量异号电荷;相背两个面带等量同号电荷.再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布,进一步求出电场分布和导体间的电势差.

导体板B 接地后电势为零,B 的外侧表面不带电,根据导体板相背两个面带等量同号电荷可知,A 的外侧表面也不再带电,由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布,进一步求出电场分布和导体间的电势差. 解 (1) 如图(b)所示,依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得

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