高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为 r ＜R１时， E1?r??0
q
4πε0r2Q?qr＞R2 时， E2?r?? 24πε0rR１＜r＜R2 时，E2?r??由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布． r ＜R１时，
V1??E?dl??E1?dl??E2?dl??E3?dl?rrR1R2?R1R2?qQ ?4πε0R14πε0R2R１＜r＜R2 时，
V2??E?dl??E2?dl??E3?dl?rrR2?R2?qQ ?4πε0r4πε0R2r＞R2 时，
V3??E3?dl?r?q?Q 4πε0r也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（r ＜R１）
V1?qQ ?4πε0R14πε0R2qQ ?4πε0r4πε0R2q?Q 4πε0r在导体球和球壳之间（R１＜r＜R2 ）
V2?在球壳外（r＞R2）
V3?由题意
V1?V0?得
qQ?
4πε0R24πε0R1qQ?
4πε0R24πε0R1V1?V0?代入电场、电势的分布得
r ＜R１时，
E1?0；V1?V0
R１＜r＜R2 时，
E2?r＞R2 时，
R1V0R1QR1V0(r?R1)Q； ?V??2r24πε0R2r2r4πε0R2rE3?R1V0(R2?R1)QR1V0(R2?R1)Q； ?V??322r4πε0R2rr4πε0R2r6 －9 在一半径为R１ ＝6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B．已知球壳B 的内、外半径分别为R2＝8.0 cm，R3 ＝10.0 cm．设球A 带有总电荷QA ＝3.0 ×10
－８
C，球壳B 带有总电荷QB ＝2.0×10
－８
C．（１） 求
球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势；（2） 将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求金属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势．
分析 （１） 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A 表面，球壳B 内表面带电荷－QA ，外表面带电荷QB ＋QA ，电荷在导体表面均匀分布［图（ａ）］，由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势．（2） 导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）．球壳B 接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电－QA ［图（ｂ）］．断开球壳B 的接地后，再将球A 接地，此时球A 的电势为零．电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡．不失一般性可设此时球A 带电qA ，根据静电平衡时
导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应－qA，外表面带电qA －QA ［图（c）］．此时球A 的电势可表示为
VA?qA?qAq?QA??A?0
4πε0R14πε0R24πε0R3由VA ＝0 可解出球A 所带的电荷qA ，再由带电球面电势的叠加，可求出球A 和球壳B 的电势．
解 （１） 由分析可知，球A 的外表面带电3.0 ×10电－3.0 ×10
－８
－８
C，球壳B 内表面带
C，外表面带电5.0 ×10
－８
C．由电势的叠加，球A 和球壳B 的
电势分别为
VA?qA?QAQ?QA??A?5.6?103V
4πε0R14πε0R24πε0R3Q?QBVB?A?4.5?103V
4πε0R3（2） 将球壳B 接地后断开，再把球A 接地，设球A 带电qA ，球A 和球壳B的电势为
VA?qA?qA?QA?qA???0
4πε0R14πε0R24πε0R3?QA?qA VB?4πε0R3R1R2QA?2.12?10?8C
R1R2?R2R3?R1R3－８
解得
qA?即球A 外表面带电2.12 ×10×10
－８
C，由分析可推得球壳B 内表面带电－2.12
－８
C，外表面带电-0.9 ×10C．另外球A 和球壳B 的电势分别为
VA?0
VB??7.29?102V
导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表 面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡．
6 －10 两块带电量分别为Q１ 、Q2 的导体平板平行相对放置（如图所示），假设导体平板面积为S，两块导体平板间距为d，并且S ＞＞d．试证明（１） 相向的两面电荷面密度大小相等符号相反；（2） 相背的两面电荷面密度大
小相等符号相同．
分析 导体平板间距d ＜＜ S，忽略边缘效应，导体板近似可以当作无限大带电平板处理。取如图（ｂ）所示的圆柱面为高斯面，高斯面的侧面与电场强度E 平行，电场强度通量为零；高斯面的两个端面在导体内部，因导体内电场强度为零，因而电场强度通量也为零，由高斯定理
?E?dS??q/ε得 ?q?0
S0?0
上式表明处于静电平衡的平行导体板，相对两个面带等量异号电荷．再利用叠加原理，导体板上四个带电面在导体内任意一点激发的合电场强度必须为零，因而平行导体板外侧两个面带等量同号电荷．
证明 （１） 设两块导体平板表面的电荷面密度分别为ζ１、ζ2、ζ3、ζ4 ，取如图（ｂ）所示的圆柱面为高斯面，高斯面由侧面S１和两个端面S2、S3构成，由分析可知
?E?dS??q/εS0?0
得
?q?ζΔS?ζΔS?0,23ζ2?ζ3?0
相向的两面电荷面密度大小相等符号相反．
（2） 由电场的叠加原理，取水平向右为参考正方向，导体内P 点的电场强度为
ζ1ζζζ?2?3?4?0,ζ1?ζ4?0 2ε02ε02ε02ε0相背的两面电荷面密度大小相等符号相同．
6 －11 将带电量为Q 的导体板A 从远处移至不带电的导体板B 附近，如 图（ａ）所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板距离为d（d?S）．
（１） 忽略边缘效应求两导体板间的电势差； （2） 若将B 接地，结果又将如何？
分析 由习题6 －１0 可知，导体板达到静电平衡时，相对两个面带等量异号电荷；相背两个面带等量同号电荷．再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差．
导体板B 接地后电势为零，B 的外侧表面不带电，根据导体板相背两个面带等量同号电荷可知，A 的外侧表面也不再带电，由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差． 解 （１） 如图（ｂ）所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得