大学物理第六章课后习题答案

平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.(1) 求电容器的电容;(2) 当在电容器的两极间加上12 V电压时,极板上的电荷为多少? 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少? (3) 求电容器内的电场强度.

解 (1) 查表可知二氧化钛的相对电容率εr =173,故充满此介质的平板电容器的电容

C?εrε0S?1.53?10?9F d(2) 电容器加上U =12 V 的电压时,极板上的电荷

Q?CU?1.84?10?8C

极板上自由电荷面密度为

ζ0?晶片表面极化电荷密度

Q?1.84?10?8C?m-2 S?1????1??ζ0?1.83?10?4C?m-2 ζ0?εr?(3) 晶片内的电场强度为

E?U?1.2?105V?m-1 d-8

6 -19 如图所示,半径R =0.10 m 的导体球带有电荷Q =1.0 ×10C,

导体外有两层均匀介质,一层介质的εr=5.0,厚度d =0.10 m,另一层介质为空气,充满其余空间.求:(1) 离球心为r =5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E;(2) 离球心为r =5 cm、15 cm、25 cm 处的V;(3) 极化电荷面密度ζ′.

分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面,电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上,因而介质中的电场是球对称分布的.任取同心球面为高斯面,电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关,因此,在高斯面上D 呈均匀对称分布,由高斯定理D?dS???q0可得D(r).再由

E?D/ε0εr可得E(r).

介质内电势的分布,可由电势和电场强度的积分关系V?者由电势叠加原理求得.

极化电荷分布在均匀介质的表面,其极化电荷面密度ζ??pa. 解 (1) 取半径为r 的同心球面为高斯面,由高斯定理得 r <R D1?4πr?0

2??rE?dl求得,或

D1?0;E1?0

2R <r <R +d D2?4πr?Q

D2?QQ; E?24πr24πε0εrr2QQ; E?324πr24πε0εrrr >R +d D3?4πr2?Q

D3?将不同的r 值代入上述关系式,可得r =5 cm、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小,其方向均沿径向朝外. r1 =5 cm,该点在导体球内,则

Dr1?0;Er1?0

r2 =15 cm,该点在介质层内,ε

=5.0,则

Dr2?QQ?8?22?1; ?3.5?10C?mE??8.0?10V?mr2224πr24πε0εrr2r3 =25 cm,该点在空气层内,空气中ε≈ε0 ,则

Dr3?QQ?8?2;?1.3?10C?mE??1.4?102V?m?1 r3224πr34πε0r2(2) 取无穷远处电势为零,由电势与电场强度的积分关系得 r3 =25 cm,

V3??E3?dr?r1?Q?360V 4πε0rE3?drr2 =15 cm,

V2???R?dr2E2?dr???R?dQQQ??

4πε0εrr24πε0εr?R?d?4πε0?R?d??480Vr1 =5 cm,

V1???R?dRE2?dr???R?dE3?drQQQ ??4πε0εrR4πε0εr?R?d?4πε0?R?d??540V(3) 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上,因空气的电容率ε =ε0 ,

极化电荷可忽略.故在介质外表面;

Pn??εr?1?ε0En?ζ?Pn?在介质内表面:

?εr?1?Q24πεr?R?d??εr?1?Q

24πεr?R?d??1.6?10?8C?m?2

Pn??εr?1?ε0En?ζ???Pn?4πεrR2?εr?1?Q

4πεrR2?εr?1?Q??6.4?10?8C?m?2

介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同,但是两表面极化电荷的总量还是等量异号.

6 -20 人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 ×109 m,两表面所带面电荷密度为±5.2 ×10 C/m ,内表面为正电

-3

2

荷.如果细胞壁物质的相对电容率为6.0,求(1) 细胞壁内的电场强度;(2) 细胞壁两表面间的电势差. 解 (1)细胞壁内的电场强度E?ζ方向指向细胞外. ?9.8?106V/m;

ε0εr?2(2) 细胞壁两表面间的电势差U?Ed?5.1?10V.

--2

6 -21 一平板电容器,充电后极板上电荷面密度为σ0 =4.5×105 C· m.现将两极板与电源断开,然后再把相对电容率为εr =2.0 的电介质插入两极板之间.此时电介质中的D、E 和P 各为多少?

分析 平板电容器极板上自由电荷均匀分布,电场强度和电位移矢量都是常

矢量.充电后断开电源,在介质插入前后,导体板上自由电荷保持不变.取图所示的圆柱面为高斯面,由介质中的高斯定理可求得电位移矢量D,再根据

E?D,P?D??0E ε0εr可求得电场强度E 和电极化强度矢量P. 解 由分析可知,介质中的电位移矢量的大小

D?Q?ζ0?4.5?10?5C?m?2 ΔS介质中的电场强度和极化强度的大小分别为

E?D?2.5?106V?m?1 ε0εrP?D?ε0E?2.3?10?5C?m?1

D、P、E方向相同,均由正极板指向负极板(图中垂直向下). 6 -22 在一半径为R1 的长直导线外,套有氯丁橡胶绝缘护套,护套外半径为R2 ,相对电容率为εr .设沿轴线单位长度上,导线的电荷密度为λ.试求介质层内的D、E 和P.

分析 将长直带电导线视作无限长,自由电荷均匀分布在导线表面.在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷,这些电荷在内外表面呈均匀分布,所以电场是轴对称分布.取同轴柱面为高斯面,由介质中的高斯定理可得电

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