2019年北京各区第一次模拟理科数学分类汇编---导数及其应用（含答案）
1、（朝阳区2019届高三一模）已知函数f(x)?ln(ax) (a?R且a?0). x（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a??1时，求证：f(x)?x?1； （Ⅲ）讨论函数f(x)的极值．
2、（东城区2019届高三一模）设函数f(x)?ax?(a?2)x?lnx的极小值点为x0. （I）若x0?1，求a的值f(x)的单调区间；
（II）若0?x0?1，在曲线y?f(x)上是否存在点P，使得点P位于x轴的下方？若存在，求出一个P点坐标，若不存在，说明理由.
2113、（丰台区2019届高三一模）已知函数f(x)?(x?2)ex?ax3?ax2.
32（Ⅰ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当a≤e时，求证：x?1是函数f(x)的极小值点.
4、（海淀区2019届高三一模） 已知函数f(x)?xln(x?1)?ax2. (I)求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅱ)当a?0时，求证：函数f(x)存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数f(x)的零点个数．
5、（怀柔区2019届高三一模）已知函数f(x)?lnx?ax(a?R). （Ⅰ）当a?2时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的x?(0,??)，都有f(x)?0，求a的取值范围.
6、（门头沟区2019届高三一模）已知f(x)?axe在点(0,0)处的切线与直线y?x?2平行。 (Ⅰ)求实数a的值；
x - 1 -
x2（Ⅱ）设g(x)?f(x)?b(?x)
2（i）若函数g(x)?0在[0,??)上恒成立,求实数b的最大值； （ii）当b?0时，判断函数g(x)有几个零点，并给出证明.
7、（石景山区2019届高三一模）设函数f(x)?ex?ax?1，a?0． （Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）当x?1时，函数f(x)的图象恒在x轴上方，求a的最大值．
8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设函数f?x??ax?lnx,a?R
.（I）若点?1,1?在曲线y?f?x?上，求在该点处曲线的切线方程； （II）若f?x?有极小值2，求a.
9、（西城区2019届高三一模）设函数f(x)?mex?x2?3，其中m?R． （Ⅰ）当f(x)为偶函数时，求函数h(x)?xf(x)的极值；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间[?2,4]上有两个零点，求m的取值范围．
10、（延庆区2019届高三一模） 已知函数f(x)?ln(x?a)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0平行.
（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）令g(x)?
11、（房山区2019届高三一模）已知函数f(x)?mx2?xlnx?（Ⅰ）当m?0时，求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程； （Ⅱ）若函数f(x)的图象在x轴的上方，求m的取值范围.
12、（大兴区2019届高三一模）已知函数f(x)?aex图象在x?0处的切线与函数g(x)?lnx图象在
f(x)，求函数g(x)的单调区间. x??12mx(m≤1). 2x?1处的切线互相平行．
（Ⅰ）求a的值；
- 2 -
（Ⅱ）设h(x)?f(x)?g(x)，求证：h(x)?2．
参考答案
1、解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?lnx1?lnx．所以f?(x)?． 2xx因为f?(1)?1,f(1)?0，
所以曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?x?1．……………….3分
（Ⅱ）当a??1时，f(x)?ln(?x)． x 函数f(x)的定义域为(??,0)． 不等式f(x)?x?1成立?2ln(?x)?x?1成立?ln(?x)?x2?x?0成立. x设g(x)?ln(?x)?x?x(x?(??,0))，
1?2x2?x?1(?2x?1)(x?1)?则g?(x)??2x?1?．
xxx当x变化时，g?(x)，g(x)变化情况如下表：
x (??,?1) ＋ ↗ ?1 0 极大值 (?1,0) － ↘ g?(x) g(x) 所以g(x)?g(?1)．
因为g(?1)?0，所以g(x)?0，
ln(?x)?x?1．………………………………………………………………….8分 x1?ln(ax)e?f(x)?0（Ⅲ）求导得f?(x)?. 令，因为可得． x?a?02xa所以
当a?0时，f(x)的定义域为?0,+??.当x变化时，f?(x)，f(x)变化情况如下表：
x e(0,) ae ae(,??) a - 3 -