利用matlab实现插值与拟合实验
张体强 1026222 张影 晁亚敏
[摘要]：在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。 [关键字]:
测绘学 插值 多项式拟合 非线性拟合
[ Abstract]: in surveying and mapping, whether the graphics processing, or topographic map processing and so on, are inseparable from the interpolation and fitting application, according to the interpolation and fitting theory,
construct the fitting and interpolation function, understanding its principle, and MATLAB platform, achieve one-dimensional interpolation, two-dimensional interpolation, polynomial fitting, non-linear fitting, and on this basis, to contact their studies, analysis of their living in a special example, put forward the question, modeling, programming, so that a deep understanding of interpolation and fitting function. [ Key words]:
Surveying and mapping interpolation polynomial fitting nonlinear
一: 引言
通常在生产实际及科学研究中，我们经常要研究变量之间的函数关系y=f(x)，若f(x)的表达式很复杂，或f(x)只是一张数据来表示，这都给研究带来困难，因此我们希望用一个函数P(x)来代替它，把研究f(x)的问题转化成研究，由于近似含义不同，就有插值和拟合两种情况。Matlab是一款功能强大的科学数学计数器，利用matlab可以成功的完成插值与拟合等任务，在编写插值与拟合程序前，本人从以下步骤分析和实现插值与拟合。
多项式拟合和事例 拟合的方法 非线性最小二乘拟合法和事例 插值与拟合实际建模与分析 一维插值 拉格朗日事例分析 二维插值 拉格朗日插值原理 拉格朗日插值多项式构造 图1 插值与拟合分析流程图
二：拉格朗日插值原理和插值多项式构造
一般地，已知函数y=f(x)在互异的n+1个点x0 , x1 ,…….xn处的函数值y0,y1,y2…….yn就是构造一个多项式Ln(x)。
如果一个n次多项式lk(x)(k?0,1,,n)在n+1个互异的节点x0 , x1 ,…….xn满足 则称
??1,lk(xj)??kj????0,j?kj?k(k,j?0,1,,n)lk(x)(k?0,1,,n)为节点x0,x1,,xn上
的n次插值基函数，那么我们可以求出插值基函数为：
(x?x0)(x?xk?1)(x?xk?1)(x?xn)l(x)?, k(xk?x0)(xk?xk?1)(xk?xk?1)(xk?xn)(k?0,1,,n)于是满足条件为
Ln(xj)?yj(j?0,1,,n)n，则称n次插值多项式Ln(x)
Ln(x)??yklk(x)k?0则Ln(x)为拉格朗日插值多项式。记插值余项为以下： 则
?n?1(x)??(x?xj)?(x?x0)(x?x1)(x?xn),j?0n?'n?1(xk)?(xk?x0)(xk?xk?1)(xk?xk?1)(xk?xn)
于是：
?n?1(x)Ln(x)??yk(x?xk)?'n?1(xk) k?0n上面公式为完整的拉格朗日插值公式。